Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

Ca exerciţiu, a se încerca demonstrarea acestei teoreme. Ea corespunde exactunei demonstratii prin reducere la absurd (reductio ad absurdum) –imposibilitatea-de-a-fi-satisfǎcutǎ înseamnǎ cǎ o contradictie trebuie sǎ fiecontinutǎ în (P ∧ ¬Q). Ce înseamnǎ aceasta în practicǎ este cǎ putem testaconsecinţa (entailment) la fel ca si posibilitatea-de-a-fi-satisfǎcutǎ utilizând unalgoritm legat de posibilitatea-de-a-fi-satisfǎcutǎ o propoziţie. Astfel, de acumîncolo se va vorbi de modul cum se implementeazǎ testarea posibilitǎtii-de-a-fisatisfǎcutǎo propozitie în loc de o consecintǎ necesarǎ (entailment).Testarea recursivǎ a posibilitǎtii-de-satisfacere a unei propozitiiLectia 6 a dat o definitie simplǎ (eval) pentru evaluarea unei expresii booleeneîntr-un model. Dacǎ toate expresiile sunt în CNF, se poate utiliza o metodǎ încǎmai simplǎ: o expresie CNF este adevǎratǎ dacǎ si numai dacǎ fiecare clauzǎ înparte este adevǎratǎ; o clauzǎ este adevǎratǎ dacǎ si numai dacǎ o literalǎ esteadevǎratǎ.Acum, cum se genereazǎ modelele? De preferat a nu se construi mai întâiîntregul tabel de adevǎr si apoi a fi parcurs de-a lungul si de-a latul! Asta arnecesita un spatiu exponential si spatiul este uneori mult mai costisitor decâttimpul. În locul unei astfel de proceduri, se pot enumera modelele recursiv dupǎcum urmeazǎ. Fie M 1…i un model partial care specificǎ valori pentru variabileleX 1 , …, X i si fie o completare a lui M 1…i orice model X 1 , …, X n care coincide cuM 1…i pe X 1 , …, X i . Acum se defineste funcţia satisface(P, M 1…i ) a fi adevǎratǎdacǎ si numai dacǎ P este adevǎratǎ într-un model care este o completare a luiM 1…i . Evident, P este posibil-a-fi-satisfǎcutǎ dacǎ si numai dacǎ satisface(P, {})este adevǎratǎ.satisface(P, M 1…n ) este adevǎratǎ dacǎ si numai dacǎ P este adevǎratǎ înM 1…n .dacǎ i < n, satisface(P, M 1…i ) este adevǎratǎ dacǎ si numai dacǎsatisface(P, M 1…i ∪ {X i + 1 = T}) este adevǎratǎsausatisface(P, M 1…i ∪ {X i + 1 = F}) este adevǎratǎÎn timp ce tabelul de adevǎr ocupǎ un spaţiu exponenţial, acest algoritmconsumǎ numai un spaţiu liniar – profunzimea recursiei este cel mult n. Durataalgoritmului este încǎ O(2 n ) în cel mai rǎu caz, care se produce când P esteimposibil-a-fi-satisfǎcutǎ. Dacǎ P este posibil-a-fi-satisfǎcutǎ, durata de calculpoate fi mult mai micǎ.Pentru discuţia legatǎ de jocul Minesweeper, e de asteptat ca multe dintrepǎtrate sǎ fie nici garantat minate nici garantat sigure (în special când cazurile“evidente” au fost deja evidenţiate), asa încât multe încercǎri de verificare sevor termina fǎrǎ a fi necesarǎ enumerarea tuturor modelelor.66