Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

De notat cǎ, chiar dacǎ s-a recurs la câteva aproximǎri, inegalitatea (10) estedeplin validǎ: toate aproximǎrile utilizate sunt de tipul “≤”, asa încât totdeaunaexistǎ o limitare superioarǎ pentru Pr[X 1 ≥ k]. O revenire la calculul de mai suspoate lǎmuri aceastǎ afirmatie.Recitirea relatiei (5) readuce în prim plan scopul urmǎrit: a face probabilitateadin (10) mai micǎ decât 1/2n. Se poate asigura aceasta prin alegerea lui k astfelîncât⎛ e ⎞k 1⎜ ⎟ ≤⎝ k ⎠ 2 (11)nAcum se pot face afirmatii hotǎrîte: fiind datǎ o valoare a numǎrului n(joburi/procesoare) trebuie gǎsitǎ valoarea cea mai micǎ a lui k = k 0 caresatisface relatia (11). Vom sti atunci cǎ, cu probabilitatea de cel putin 1/2sarcina maximǎ a oricǎrui procesor este de cel mult k 0 . Tabelul care urmeazǎaratǎ aceste valori k 0 pentru câteva valori ale lui n. Ca exercitiu, cititorul esteîndemnat a executa experimentul si a compara aceste valori k 0 cu ce se întâmplǎîn practicǎ.n 10 20 50 100 500 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 15k 0 exact 5 6 6 7 8 8 9 10 11 12 13 19ln(2n) 3 3,7 4,6 5,3 6,9 7,6 9,9 12,2 14,5 16,8 19,1 35,22lnn/lnlnn 5,6 5,4 5,8 6 6,8 7,2 8,2 9,4 10,6 11,6 12,6 20Se poate da o formulǎ pentru k 0 ca functie de n (cum s-a fǎcut la problema dehashing)? Ei bine, luând logaritmul expresiei (11) se obtinek(lnk – 1) ≥ ln(2n) (12)Din aceasta, se poate ghici o aproximare destul de bunǎ pentru k 0 : k = ln(2n).Introducerea aceastei valori k face partea dreaptǎ a expresiei (12) egalǎ culn(2n)(lnln(2n) – 1) care este cu sigurantǎ mai mare decât ln(2n) deoarece1 2eln(2n) ≥ 2, adicǎ n ≥ e ≈ 810 . Astfel, pentru n ≥ 810 se poate spune cǎ2sarcina maximǎ este (cu probabilitate de cel putin 0,5) nu mai mare de ln(2n).Tabelul de mai devreme pune alǎturi valorile lui ln(2n) pentru comparatie cu k 0 .Cum era de asteptat estimarea este destul de bunǎ pentru n mic dar devinepesimistǎ pentru n mare.Pentru valori mari ale lui n se poate face o evaluare mai bunǎ. Dacǎ introducemîn partea stângǎ a relatiei (12) valoarea k = lnn/lnlnn, aceasta devineln n⎛ lnlnln n ⎞(lnln n − lnlnln n − 1) = ln n⎜1 −⎟ (13)lnln n⎝ lnln n ⎠Acum, dacǎ n este mare, aceasta este usor mai micǎ decât partea dreaptǎ,ln(2n). De ce? Deoarece al doilea termen din parantezǎ tinde la zero când n →∞ (Pentru a vedea aceasta, de notat cǎ este de forma (lnz + 1)/z cu z = lnlnn si,desigur, lnz/z → 0 dacǎ z → ∞) si deoarece ln(2n) = lnn + ln2, care este foarteapropiat de lnn când n este mare (ln2 este o constantǎ micǎ). Se poate conchideastfel cǎ pentru valori mari ale lui n cantitatea lnn/lnlnn poate fi o estimare146