Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

(mod pq) este una din solutiile posibile si în virtutea unicitǎtii aceasta trebuie sǎfie singura posibilitate. Adevǎrul teoremei decurge de aici.□Sǎ recapitulǎm. Mica teoremǎ a lui Fermat ne spune cǎ x p – 1 ≡ 1 (mod p) sitocmai am vǎzut cǎ x (p – 1)(q – 1) ≡ 1 (mod pq). Care este pattern-ul general aici?De unde vin acesti exponenti magici? Existǎ vreo relatie generalizabilǎ între p –1 si p si (p – 1)(q – 1) si pq? Da, existǎ.Conceptul de care avem nevoie este acela de functia totient a lui Euler, ϕ(n).Numǎrul ϕ(n) este definit a fi numǎrul de întregi pozitivi mai mici ca n simutual primi cu n. Se poate vedea cǎ ϕ(p) = p – 1 când p este prim, deoareceîntregii 1, 2, …, p – 1 sunt toti mai mici decât p si relativ primi cu p. Cu putinefort de numǎrare se poate determina si ϕ(n) când n = pq, un produs de douǎnumere prime. Se obtine rezultatul urmǎtor:Lema 11.1: Fie p, q douǎ numere prime distincte si n = pq. Atunci ϕ(n) = (p –1)(q – 1).Demonstratie: Câti întregi sunt mai mici decât n si sunt relativ primi cu n? Eibine, întregii p, 2p, 3p, …, (q – 1)p nu se pun: ei au un factor comun cu n.Dintr-un motiv similar nu se numǎrǎ nici q, 2q, 3q, …, (p – 1)q. Acestea suntsingurele exceptii si cele douǎ liste de numere sunt disjuncte. Dacǎ din cele n –1 numere mai mici ca n eliminǎm aceste exceptii se obtine cea ce urmǎrim. Înfinal, prima listǎ contine q – 1 exceptii, a doua p – 1 exceptii. Asadar, sunt n – 1– (p – 1) – (q – 1) = pq – p – q + 1 = (p – 1)(q – 1) întregi pozitivi mai micidecât n si relativ primi cu n.□La acest moment este natural a formula conjectura conform cǎreia functiatotient a lui Euler croieste cǎrarea cǎtre o generalizare a micii teoreme a luiFermat. Si, desigur, se poate demonstra urmǎtorul rezultat:Teorema 11.3: (Teorema lui Euler) x ϕ(n) ≡ 1 (mod n) pentru orice x caresatisface conditia gcd(x, n) = 1.Demonstratie: Demonstratia va fi exact ca aceea pentru mica teoremǎ a luiFermat. Se considerǎ o multime Φ de întregi pozitivi mai mici decât n si relativprimi cu n. Dacǎ alegem oricare element x din Φ obtinem o altǎ multime Φ x ={ix mod n: i∈ Φ}. De notat cǎ toate elementele din Φ x sunt distincte (deoarece xeste inversabil) si relativ prime cu n, asadar Φ = Φ x . În consecintǎ, produsele∏i∈ Φi si ∏Φ i∈ xi sunt egale modulo n. Dar ∏i∈ Φi ≡ ∏Φ i∈ xi (mod n), asadar x|Φ|≡ 1(mod n). în final, notând |Φ| = ϕ(n), rezultǎ teorema.□Cititorul poate verifica mica teoremǎ a lui Fermat ca un caz special al teoremeilui Euler.93