Matematici discrete pentru CS - Departamentul Automatica ...

P(2) este propozitia care spune cǎ 2 poate fi scris ca un produs de numereprime. Ea este adevǎratǎ pentru cǎ 2 se poate scrie ca produs de un singurnumǎr prim, el însusi. (Reamintim cǎ 1 nu este numǎr prim!)• Pasul inductiv: demonstrarea propozitiei P(n) ⇒ P(n + 1), pentru toatenumerele naturale n > 1.1. Ipoteza inductivǎ spune cǎ n poate fi scris ca un produs de numereprime2. De demonstrat: n + 1 poate fi scris ca un produs de numere prime3. Demonstratia este blocatǎ: fiind datǎ P(n) se poate stabili usor P(2n)sau P(7n), dar P(n + 1) nu se leagǎ în vreun fel convenabil de P(n).□Cu inductia tare se poate face o conexiune între P(n + 1) si fapte anterioare dinsecventǎ, fapte care sunt de data aceasta relevante. De exemplu, dacǎ n + 1 =72, atunci P(36) si P(24) sunt fapte utilizabile în demonstratie.Demonstratie: Demonstratie prin inductie tare peste numerele naturale maimari ca unitatea.• Cazul de bazǎ: se demonstreazǎ P(2) ca mai devreme.• Pasul inductiv: se demonstreazǎ cǎ P(2) ∧ … ∧ P(n) ⇒ P(n + 1) pentrutoate numerele naturale n > 1.1. Ipoteza inductivǎ: se demonstreazǎ propozitia P(2) ∧ … ∧ P(n) ⇒P(n + 1) pentru toate numerele naturale n > 1.2. De demonstrat: n + 1 poate fi scris ca un produs de numere prime.3. Demonstratie pe cazuri: n + 1 este prim: atunci n + 1 poate fi scris ca produsul unuinumǎr prim, el însusin + 1 nu este prim: atunci prin definitia numerelor prime,existǎ întregi a, b astfel încât 2 ≤ a, b < n + 1 si n + 1 = a.b.Prin ipoteza inductivǎ, atât a cât si b pot fi scrise ca unprodus de numere prime. Asadar n + 1 poate fi scris ca unprodus de numere prime.□Teorema 3.2: Orice cantitate întreagǎ de trimiteri postale cu taxa de la 8¢ în suspoate fi acoperitǎ exact cu timbre de 3¢ si de 5¢.Cu o inductie tare se poate face o conexiune între P(n + 1) si faptele anterioaredin secventǎ. În particular, P(n – 2) este relevantǎ pentru cǎ n + 1 poate ficompus din solutia pentru n – 2 plus o marcǎ de 3¢. Astfel pasul inductivlucreazǎ dacǎ adevǎrul propozitiei P(n – 2) este deja cunoscut. Nu aceasta va fisituatia dacǎ n + 1 este 9 sau 10, astfel încât acestea vor trebui tratate separat.Demonstratie: demonstratia se face prin inductie tare pe numerele naturale n ≥8.• Cazul de bazǎ: se demonstreazǎ P(8).P(8) este propozitia care spune cǎ taxa pentru o trimitere postalǎ de 8¢ poate ficompusǎ din timbre de 3¢ si 5¢. Propozitia este adevǎratǎ si necesitǎ câte untimbru din fiecare tip/valoare.32