zadání

1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 131.3 Trigonometrické rovnicePoznámky:1. Moivreova formule praví:Pro všechna x ∈ R, m ∈ N platí (cos x + i sin x) m = cos mx + i sin mx.2. Zavedení funkcí arcsin, arccos, arctg a arccotg :Nechť b ∈ 〈−1, 1〉, pak existuje právě jedno x ∈ 〈− π 2 , π 2〉 tak, že sin x = b. Číslo x nazývámearkus sinus b a označujeme arcsin b. Tedy sin x = b, x ∈ 〈− π 2 , π 2〉 ⇔ x = arcsin b.Podobně je definován arkus kosinus, arkus tanges a arkus kotangens:cos x = b, x ∈ 〈0, π〉, b ∈ 〈−1, 1〉 ⇔ x = arccos b,tg x = b, x ∈ (− π 2 , π 2) ⇔ x = arctg b,cotg x = b, x ∈ (0, π) ⇔ x = arccotg b.Domluva: V následujících úlohách písmeno k označuje libovolné celé číslo.Příklad 5Najděte všechna x ∈ 〈0, 2π), pro něž sin 3x = sin 2x.Řešení IStrategie: sin 2x i sin 3x převedeme na sin x a cos x.Realizace: Z Moivreovy věty pro m = 3 dostaneme: (cos x + i sin x) 3 = cos 3x + i sin 3x.Po umocnění cos 3 x − 3 sin 2 x cos x + i(3 sin x cos 2 x − sin 3 x) = cos 3x + i sin 3x. Tj. sin 3x == 3 cos 2 x sin x − sin 3 x. Podobně pro m = 2 dostaneme sin 2x = 2 sin x cos x. Po dosazeníobou výrazů do původní rovnice dostaneme 3 cos 2 x sin x − sin 3 x = 2 sin x cos x, odkudsin x(3 cos 2 x − sin 2 x − 2 cos x) = sin x(4 cos 2 x − 1 − 2 cos x) = 0.Tedy buď sin x = 0, nebo 4 cos 2 x − 2 cos x − 1 = 0. Z této kvadratické rovnice plyne cos x == 1±√ 54.Konečně sin x = 0 ⇔ x 1 = 0 ◦ , x 2 = 180 ◦ , cos x = 1+√ 54≈ 0, 809017 ⇔ x 3 ≈ 36 ◦ , x 4 ≈ 324 ◦ ;cos x = 1−√ 54≈ −0, 309017 ⇔ x 5 ≈ 108 ◦ , x 6 ≈ 252 ◦ .Lehce se přesvědčíme, že všechny čtyři kořeny, které jsme našli přibližně, jsou přesné. Napříkladkdyž do původní rovnice dosadíme x 3 = 36 ◦ , dostaneme sin 72 ◦ = sin 108 ◦ == sin(180 ◦ − 72 ◦ ), což platí přesně a ne jen přibližně. Stejně pro kořeny x 4 , x 5 a x 6 .Výsledek: Množina řešení je {0 ◦ , 36 ◦ , 108 ◦ , 180 ◦ , 252 ◦ , 324 ◦ }.Řešení IIStrategie: Použijeme vzorec sin x − sin y = 2 cos x+y2sin x−y2 .Realizace: Danou rovnici napíšeme ve tvaru sin 3x − sin 2x = 0 a použijeme uvedený vzorec.Dostaneme 2 cos 5x 2 sin x 2 = 0. Odtud buď cos 5x 2 = 0 ⇔ 5x 2 = π 2 + kπ ⇔ x = π 5 + 2 5 kπ ⇔⇔ x 1 = π 5 , x 2 = 3π 5 , x 3 = π, x 4 = 7π 5 , x 5 = 9π 5 , nebo sin x 2 = 0 ⇔ x 2 = kπ ⇔ x 6 = 0.Výsledek: Množina řešení je {0, π 5 , 3π 5 , π, 7π 5 , 9π 5 }.