zadání

4.1. JEDNODUCHÉ KONSTRUKCE 67✓✏ ❛ ❛|Diskuse: Existují dva hledané čtverce.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Chyby jsme se dopustili v tom, že jsme automaticky předpokládali, že úsečka UV je stranou. Opomněli✒✑⌣⊲⊳ jsme případ, kdy UV je úhlopříčkou. V tomto případě bude příslušná konstrukce snažší. OznačímeU = A, V = C a konstruujeme body B a D v pěti krocích:1. střed S = A − • − C;2. přímka p bodem S kolmo na AC;3. kružnice k(S, |SA|);4. dvojice bodů {B, D} = k ∩ p;5. úsečky AB, BC, CD, DA.Diskuse: Existují tři hledané čtverce. Dva, pro které je úsečka UV stranou, a jeden, pro který je UVúhlopříčkou.Úlohy1. Dán je trojúhelník ABC. Sestrojte kružnici, která se dotýká každé z přímek AB, BC, CA.Najděte všechna řešení.2. Dán je kruh K. Sestrojte kružnici soustřednou s kruhem K a dělící K na dvě části stejnéhoobsahu.3. Sestrojte čtyřúhelník, jestliže jsou dány a) úhly α, β a strany a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|,b) úhly α, δ a strany a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|.Řešení1. Konstrukce: 1. osa u úhlu α; 2. osa v úhlu β; 3. kolmice u ′ na u vedená bodem A; 4. kolmicev ′ na v vedená bodem B; 5. body {O} = u ∩ v, {O A } = u ∩ v ′ , {O B } = u ′ ∩ v, {O C } == u ′ ∩ v ′ ; 6. paty kolmic P , P A , P B , P C , vedených z bodů O, O A , O B , O C na přímkuAB; 7. kružnice k 1 (O, |OP |), k 2 (O A , |O A P A |), k 3 (O B , |O B P B |), k 4 (O C , |O C P C |) jsou hledanářešení. První z těchto kružnic se nazývá kružnice trojúhelníku vepsaná, další tři se nazývajíkružnice trojúhelníku připsané.2. Do K vepíšeme čtverec a do něj kružnici. To je hledaná kružnice. Ověřte.3. a) Sestrojíme trojúhelník ABC – známe dvě strany a úhel jimi sevřený. V poloroviněABC sestrojíme bod M tak, že | < MAB| = α. Sestrojíme kružnici k(C, c) a její průsečíkys polopřímkou AM označíme D a D ′ . Když tyto body neexistují, úloha nemá řešení. Kdyžexistují, úloha může mít jedno, nebo dvě řešení. Nutno ještě zjistit, zda ABCD je opravdučtyřúhelník, tj. zda není A = D, nebo zda body B, C, D, resp. A, D, C neleží v přímce.b) Sestrojíme nejprve stranu |AB| = a, dále u vrcholu A úhel α = | < OAB|. Dálev polorovině OAB sestrojíme úhel δ = | < P OA|. Na polopřímce OP sestrojíme ve vzdálenostic = |CD| od bodu O bod X. Bodem X vedeme přímku n rovnoběžnou s přímkou AO.Sestrojíme kružnici se středem v bodě B a poloměrem b = |BC|; kde protne přímku n, tam