zadání

2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 47Realizace: Víme již, jak můžeme řešení hledat, ale nemáme zatím obecnou formuli, která byvšechna řešení popsala. Vypišme si do další tabulky několik prvních (při našem hledání) řešení(x, y) dané rovnice.k 0 1 2 3 4 5 . . .x 4 21 38 55 72 89 . . .y 1 6 11 16 21 26 . . .Z tabulky vidíme, že hodnoty x vzrůstají po sedmnácti a hodnoty y po pěti. Toto poznánínám umožní dát tabulce tvar, z něhož je zřejmá hledaná formule.k 0 1 2 3 . . . kx 4 4 + 1 · 17 4 + 2 · 17 4 + 3 · 17 . . . 4 + k · 17y 1 1 + 1 · 5 1 + 2 · 5 1 + 3 · 5 . . . 1 + k · 5✓✏ ❛ ❛|Výsledek: Množina řešení dané rovnice je M = {(17k + 4, 5k + 1); k ∈ Z}.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Tvrzení z výsledku dokázáno nebylo. Na základě experimentální činnosti a důvěry v tabulky jsme tuto✒✑⌣⊲⊳ formuli získali a prohlásili za platnou. Matematicky vzato máme pouze hypotézu. Nevíme například,zda uvedená formule skutečně platí i pro záporná k. Nevíme též, zda kromě nalezených řešení neexistujířešení další. Jistotu nabudeme až pomocí důkazu.Nutno dokázat dvě věci:• Pro každé k ∈ Z je x = 17k + 4, y = 5k + 1 řešením původní rovnice.• Ke každému celočíselnému řešení (x, y) existuje k ∈ Z tak, že x = 17k + 4, y = 5k + 1.První tvrzení říká, že množina M = {(17k + 4, 5k + 1); k ∈ Z} je množinou řešení dané rovnice. Druhétvrzení říká, že je to množina všech řešení.První tvrzení dokážeme dosazením do rovnice. To přenecháme čtenáři. Druhé tvrzení dokážeme úvahou.Nechť (x, y) je celočíselné řešení dané rovnice, pakx = 17y + 35= 3y + 1 +2(y − 1)5je celé číslo. Tedy 2(y−1)5je celé číslo, a proto y−15= k je celé číslo. Odtud x = 17k + 4 a y = 5k + 1.Řešení IIMůžeme postupovat i jiným způsobem. Nejdříve rovnici upravíme stejně jako v předchozímpřípadě.Osamostatníme xx = 3y + 2y + 3 .5Jsou-li x a 3y celá čísla, je i 2y+35celé číslo. Označíme ho tedy t. Pakx = 3y + t, kde t = 2y + 3 .5Z toho plyne, že 5t = 2y + 3. Vyjádříme y: y = 5t−32= 2t + t−32 .