zadání

2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 43b) x 1 = 2 4 · 3 2 · 5 3 a y 1 = 5, x 2 = 5 3 a y 2 = 2 4 · 3 2 · 5, x 3 = 3 2 · 5 3 a y 3 = 2 4 · 5, x 4 = 2 4 · 5 3a y 4 = 3 2 · 5, plus cyklická záměna;c) x 1 = 2 3 · 3 2 · 5 3 a y 1 = 2 · 5, x 2 = 2 · 3 2 · 5 3 a y 2 = 2 3 · 5, x 3 = 2 3 · 5 3 a y 3 = 2 · 3 2 · 5,x 4 = 2 · 5 3 a y 4 = 2 3 · 3 2 · 5, plus cyklická záměna;d) nemá řešení.30. x 1 = 350, x 2 = 1 050.31. x = 1432. a) 1; b) 1; c) jestliže n je sudé, pak 2, jestliže n je liché, pak 1; d) 1, nebo 5 (jestližeD(n, n + 5) = k, pak n = xk a n + 5 = yk; do druhé rovnice dosadíme za n a dostanemekx + 5 = yk, upravíme 5 = k(y − x), a tedy k se může rovnat buď 1, nebo 5); e) 1, 3, 5, 15(postup jako v d)); f) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (postup jako v d)); g) 1, 2; h) 1, 13.33. a) pq; b) n(n + 1); c) n(n + 2); d) n(n+2)2; e) n(n+6)3. (Zkuste si několik číselných příkladů.)2.5 Euklidův algoritmusPříklad 9Najděte D = D(3 451, 5 066).ŘešeníVhled: Když na první z čísel 3 451 zkusíme kritérium dělitelnosti čísly 2, 3, 5, 11, neuspějeme.Číslo 5 066 = 2 · 2 533 též dále rozkládat neumíme. Tedy hledat společný dělitel těchto číselvýše popsanými metodami vyžaduje úmornou práci s kalkulačkou. Existuje však jiný způsob,jak k výsledku dospět – daná čísla postupně zmenšovat tak, aby se číslo D neměnilo. Tohomůžeme dosáhnout postupem zvaným Euklidův algoritmus.Strategie: Označme D = D(u, v). Nechť v > u. Označme w = v − u. Pak D = D(w, u). Původníúlohu jsme zjednodušili. Číslo D(w, u) najdeme snadněji než D(u, v), protože pracujemes menšími čísly. Předpokládejme, že číslo v je větší než k-násobek čísla u. Pak využijeme faktu,že D(u, v) = D(u, v − ku). Úlohu zjednodušíme ještě výrazněji. Opakováním tohoto triku, žetotiž větší z čísel dvojice zmenšujeme menším, dospějeme nakonec k výsledku. Názorně touvidíme na konkrétním výpočtu.Realizace:D = D(3 451, 5 066) = D(3 451, 5 066−3 451) = D(3 451, 1 615) = D(3 451−2·1 615, 1 615) == D(221, 1 615) = D(221, 1 615 − 7 · 221) = D(221, 68) = D(221 − 3 · 68, 68) = D(17, 68) == D(17, 68 − 4 · 17) = D(17, 0) = 17Postup pomocí Euklidova algoritmu můžeme zapsat také takto:5 066 = 1 · 3 451 + 1 6153 451 = 2 · 1 615 + 2211 615 = 7 · 221 + 68221 = 3 · 68 + 1768 = 4 · 17 + 0