zadání

4.8. DŮKAZY 8333. Nechť E, F , G a H jsou body, v nichž se kružnice k dotýká stran AB, BC, CD, DAčtyřúhelníka ABCD v uvedeném pořadí. Protože obě tečny vedené z bodu A ke kružnici kjsou stejně dlouhé, platí |AE| = |AH|. Analogicky |BE| = |BF |, |CF | = |CG|, |DG| = |DH|.Dále |AB|+|CD| = |AE|+|EB|+|CG|+|GD| = |AH|+|BF |+|CF |+|HD| = |AD|+|BC|.Obrácená věta zní:Platí-li pro čtyřúhelník ABCD vztah |AB| + |CD| = |AD| + |BC|, pak existuje kružnice kčtyřúhelníku ABCD vepsaná.Tato věta neplatí. Protipříkladem je nekonvexní čtyřúhelník souměrný podle přímky AC.34. Klíčem k důkazu je pomocné tvrzení: Trojúhelníky MT V a MUT jsou podobné. Nejprvetoto pomocné tvrzení dokážeme.Úhel při vrcholu M mají oba trojúhelníky společný. Dále obvodový úhel T UV je shodnýs úhlem V T M. Trojúhelníky MT V a MUT se tedy shodují ve dvou úhlech, a proto jsoupodobné. Z podobnosti plyne: |MU| : |MT | = |MT | : |MV |, odtud |MT | 2 = |MU||MV |.Zbytek plyne z Pythagorovy věty aplikované na trojúhelník MT S.Tvrzení je dokázáno.35. Označme o obvod kružnice k opsané čtyřúhelníku ABCD. Dále označme α = | < CAB|,β = | < ABD|. Pak AC ⊥ BD ⇔ α + β = π 2 ⇔ ̂BC + ÂD = o 2 ⇔ ̂BC + ÂD = ÂB + ĈD.Hledané tvrzení zní: V tětivovém čtyřúhelníku ABCD je AC ⊥ BD ⇔ ̂BC +ÂD = ÂB+ĈD.Důkaz byl podán při hledání tvrzení.