zadání

48 KAPITOLA 2. TEORIE ČÍSELProtože y a t jsou celá čísla, musí také t−32být celé číslo, označme ho s. Paky = 2t + s, kde s = t − 32 .Odtud 2s = t − 3. Vyjádříme t: t = 2s + 3.Teď, kdy jsme postupnou úpravou dostali celá čísla, budeme zpětně dosazovat za t a y:y = 2t + s = 2(2s + 3) + s = 5s + 6,x = 3y + t = 3(5s + 6) + (2s + 3) = 17s + 21.Výsledek: P = {(17s + 21, 5s + 6); s ∈ Z}.✓✏ ❛ ❛|V úvahách máme chybu. Při prvním řešení jsme dospěli k výsledku✒✑⌢⊲⊳ M = {17k + 4, 5k + 1); k ∈ Z} a teď k jinému výsledku P = {(17s + 21, 5s + 6); s ∈ Z}. Kdeje chyba?✓✏ ❛ ❛ Žádná chyba v řešení není. Množiny M a P jsou totožné, jenže každá z těchto množin je zapsána✒✑⌣⊲⊳ jinak. Je to podobné, jako když žák páté třídy najde dvě „různá řešení rovnice jako 1 2 a 2 4 .Identitu M = P nahlédneme, když do vyjádření množiny M dosadíme k = s + 1.Poznámka: Existuje nekonečně mnoho různých způsobů zápisů řešení diofantovské rovniceAx + By = C.Příklad 12Najděte všechna celočíselná řešení rovnice 16x − 11y = 5.ŘešeníStrategie: Mohli bychom užít podobného postupu jako v předchozím případě. Zde však jednořešení x = 1 a y = 1 vidíme okamžitě. Ukážeme, jak z tohoto dílčího poznatku lehce najdemevšechna další řešení. Nalezené řešení „odečteme od dané rovnice.Realizace: Víme, že (1, 1) je jedno řešení, a předpokládejme, že (a, b) je jiné řešení. Pak tedyplatí16a − 11b = 5a zároveňOdečtením obou rovnic dostáváme vztah16 · 1 − 11 · 1 = 5.16(a − 1) − 11(b − 1) = 0,tj. 16(a − 1) = 11(b − 1). Protože čísla 16 a 11 jsou nesoudělná, je nutně a − 1 dělitelnéjedenácti a b − 1 dělitelné šestnácti. Tedy platí a − 1 = 11r, r ∈ Z, b − 1 = 16s, s ∈ Z.Po dosazení do 16(a − 1) = 11(b − 1) máme r = s.Zjistili jsme, že je-li (a, b) řešení, pak existuje r ∈ Z tak, že a − 1 = 11r a b − 1 = 16r.Výsledek: M = {(11r + 1, 16r + 1); r ∈ Z}