zadání

52 KAPITOLA 3. KOMBINATORIKA• dobré číslo je větší než 15;• číslo, které obsahuje byť jen jedinou z číslic 0, 6, 7, 8, 9, je číslo špatné; dobré číslo obsahujepouze číslice 1, 2, 3, 4, 5;• číslo, ve kterém se některá číslice opakuje, je špatné; dobré číslo obsahuje libovolnou číslicinejvýše jednou.Teď konkrétně. Z první podmínky víme, že do množiny M mohou patřit všechna přirozenáčísla počínaje číslem 16. Tedy čísla 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,. . . , 99, 100,101,. . . , 999, 1 000,. . .Druhá podmínka z těchto čísel mnohé vyloučí; například čísla 16, 17 nebo 20 jsou špatná. Jakokandidáti na dobrá zůstávají pouze čísla 21, 22, 23, 24, 25; 31, 32, 33, 34, 35; 51, 52, 53, 54, 55;111, 112, 113, 114, 115; 121, 122, 123, 124, 125; 131, 132, 133, 134, 135; 141, 142, 143, 144, 145;151, 152, 153, 154, 155; . . .Konečně třetí podmínka skoro všechna z těchto čísel vyloučí. Předně každé šestimístné číslosložené pouze z číslic 1, 2, 3, 4, 5 je špatné, protože v něm se aspoň jedna číslice nutně opakuje.Tím spíše všechna sedmimístná, osmimístná,. . . čísla jsou špatná. Zůstávají pouze dvojmístná,trojmístná, čtyřmístná a pětimístná čísla.• Dobrá dvojmístná čísla: 21, 23, 24, 25; 31, 32, 34, 35; 41, 42, 43, 45; 51, 52, 53, 54 (je jich 16).• Dobrá třímístná čísla: 123, 124, 125; 132, 134, 135; 142, 143, 145; 152, 153, 154; 213, 214, 215;231, 234, 235; 241, 243, 245; 251, 253, 254; 312, 314, 315; 321, 324, 325; 341, 342, 345; 351, 352, 354;412, 413, 415; 421, 423, 425; 431, 432, 435; 451, 452, 453; 512, 513, 514; 521, 523, 524; 531, 532, 534;541, 542, 543 (těch je 60).• Dobrá čtyřmístná čísla 1 234, 1 235, 1 243, 1 245, 1 253, 1 254; 1 324, 1 325, 1 342, 1 345, 1 352,1 354; atd. (těch je hodně).Vypisování všech čtyřmístných dobrých čísel je asi příliš zdlouhavý způsob evidence. Buderozumné hledat úspornější cestu.Metoda rozkladuV první části jsme se pokusili nabýt vhled do zkoumané situace. Evidovali jsme tři podmínkytextu úlohy. Pak jsme začali vypisovat dobrá čísla (tj. ta, co vyhovují třem podmínkám)počínaje nejmenším dobrým číslem 21. Bylo přirozené rozdělit všechna dobrá čísla do čtyřpodmnožin:M 2 je množina všech dobrých 2-ciferných čísel (má 16 prvků), M 3 je množina všech dobrých3-ciferných čísel (má 60 prvků), M 4 je množina všech dobrých 4-ciferných čísel (má hodněprvků), M 5 je množina všech dobrých 5-ciferných čísel (má hodně prvků).Zjistíme-li počet prvků množin M 4 i M 5 , budeme s řešením úlohy hotovi.• Počet prvků množiny M 4Musíme získat přehled přes všechna dobrá čtyřciferná čísla. To lze udělat různými způsoby.Například tak, že celou množinu M 4 rozložíme na dalších pět podmnožin podle první číslice:P 1 je množina všech čísel z M 4 s první číslicí 1, P 2 je množina všech čísel z M 4 s první číslicí 2,P 3 je množina všech čísel z M 4 s první číslicí 3, P 4 je množina všech čísel z M 4 s první číslicí 4,P 5 je množina všech čísel z M 4 s první číslicí 5.Postupně zjistíme, kolik prvků má každá z množin P 1 , P 2 , P 3 , P 4 a P 5 .