zadání

3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 61být obsazena některým z těchto deseti způsobů: S, S, S, J, J, S,S,J,S,J, S,S,J,J,S, S,J,S,S,J,S,J,S,J,S, S,J,J,S,S, J,S,S,S,J, J,S,S,J,S, J,S,J,S,S, J,J,S,S,S. Tím je usazování hotovo.Usazení případu II je hotovo, ale zatím nevíme, kolik takových možností je. Zjistěme to.Opakujeme – V a M byli usazeni jednoznačně, pro P byly tři možnosti, pro S a J pak desetmožností. Důležité je uvědomit si, že ke každé ze tří možností usazení P existuje 10 možnostíusazení S a J. Tedy celkově je 3 · 10, tj. 30 možností v tomto druhém případě.✓✏ ❛ ❛|Odpověď: Existuje 5 + 30 = 35 možných různých usazení.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Co když si dva pasažéři J vymění navzájem místo? Vznikne tím nové usazení? Nebo budou✒✑⌣⊲⊳ obě usazení stejná?Je zřejmé, že dvě usazení můžeme považovat za stejná tenkrát, když se v ničem neliší. Jakmilepřesadíme jakékoli dva pasažéry, pak nutně dostaneme nové usazení.Z uvedeného plyne, že celá předchozí úvaha je špatná, že případů bude podstatně více, nežjsme našli. Musíme začít od začátku.Nové nabývání vhledu: Dopustili jsme se chyby. Usazovali jsme tři stejné S a čtyři stejné J,ačkoli se jedná o tři různé S 1 , S 2 , S 3 a čtyři různé J 1 , J 2 , J 3 , J 4 .To, co jsme považovali za jediné usazení, je ve skutečnosti celá série usazení. Na tři místaoznačena znakem S musíme usadit tři různé S 1 , S 2 , S 3 a na čtyři místa J čtyři různé J 1 , J 2 ,J 3 , J 4 . Tak se původně jediný případ rozpadne na mnoho případů. Na kolik?Pokusme se zodpovědět otázku: Kolik je možných „rozrůznění kteréhokoli z dosud uvažovanýchpřípadů? Vraťme se k postupnému usazování pasažérů, ale berme v úvahu, že tři pasažéřiS jsou různí a stejně tak čtyři pasažéři J. Nic se nezmění na usazování V, M a P. Změní seobsazování tří míst S a čtyř míst J. Obsaďme tři místa S. Nejprve usadíme pasažéra S 1 , pakS 2 a nakonec S 3 . Protože máme pro ně pouze tři místa, má S 1 tři možnosti, S 2 pak dvě a S 3již pouze jedinou. Celkově tedy S 1 , S 2 , S 3 lze usadit 3 · 2 · 1 = 6 různými způsoby. Konečněusaďme i čtyři pasažéry J 1 , J 2 , J 3 , J 4 . Zveme je do kupé v uvedeném pořadí. Pak J 1 volíze čtyř možností, J 2 již jen ze tří, pro J 3 zbývají dvě možnosti a J 4 sedne na poslední volnésedadlo. Na čtyři místa J lze tedy usadit čtyři pasažéry J 1 , J 2 , J 3 , J 4 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24způsoby.Víme, že(a) tři pasažéry S 1 , S 2 , S 3 lze na místa S usadit šesti způsoby a(b) čtyři pasažéry J 1 , J 2 , J 3 , J 4 na místa J lze usadit 24 způsoby.Ke každému ze šesti obsazení míst S existuje tedy 24 různých obsazení míst J. To dává6 · 24 = 144 možností. Tak se jediný případ rozrostl na 144 případů.Teď je již jasné, že každý z 35 případů, ke kterým jsme dospěli při první chybné úvaze,se rozroste na 144 případů. To je potěšitelné zjištění, protože ukazuje, že práce, kterou jsme přichybném vidění problému udělali, nebyla zbytečná. Stačí totiž každý ze 35 původně získanýchpřípadů nahradit správnými 144 případy.Závěr: Existuje 35 · 144 = 5 040 možností.Rychlý postupKdyž do problému vidíme, můžeme napsat řešení dané úlohy v jazyce vzorců. Je to rozumné,protože nám tento pohled napoví, jak číst kombinatorické úvahy, které jsou napsány v jazycevzorců, a proto se nám jeví jako nedostupné. Opět budeme uvažovat o dvou případech.