zadání

2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 37Příklad 4Najděte všechna čísla ABA dělitelná číslem 15 tak, aby ABA > 100. ČísliceA a B jsou různé.ŘešeníVhled: V této úloze hledáme čísla dělitelná číslem 15. Víme, že číslo je dělitelné patnácti,právě když je dělitelné třemi a pěti. Tedy hledáme čísla typu ABA dělitelná třemi a zároveňpěti. Protože kritérium dělitelnosti pěti je silná podmínka, nejdříve najdeme všechna čísladělitelná pěti a z nich vybereme čísla dělitelná třemi 1 .Realizace: A je dělitelné pěti ⇒ A = 0 nebo A = 5. Oba případy vyšetříme zvlášť.• Když A = 0, pak má hledané číslo tvar 0B0. Toto číslo je dělitelné třemi, právě kdyžB ∈ {3, 6, 9}. Pak ABA je jedno z čísel 30, 60 a 90.• Když A = 5, pak má hledané číslo tvar 5B5. Číslo B + 10 je dělitelné třemi, právě kdyžB ∈ {2, 5, 8}. Případ B = 5 vyloučíme, protože A a B jsou různé číslice. Pak ABA je jednoz čísel 525, 585.✓✏ ❛ ❛|Výsledek: 30, 60, 90, 525, 585.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Podle zadání musí být hledaná čísla větší než 100. Z námi nalezených čísel to první tři✒✑⌣⊲⊳ nesplňují. Úloha má dvě řešení.Příklad 5Najděte (ne nutně různé) číslice X, Y , Z tak, aby šesticiferné číslon = XY 2 43Z bylo dělitelné číslem 396.ŘešeníVhled: Tato úloha je obtížnější než předcházející tři. Přesto i u ní vystačíme s postupem,který jsme se právě naučili. Hledaná čísla mají být dělitelná číslem 396 = 4 · 9 · 11, tedy musíbýt dělitelná čtyřmi, devíti a současně i jedenácti.Strategie: Opět budeme postupně využívat jednotlivých kritérií dělitelnosti. Je na nás, jaképořadí si vybereme. Vzhledem k tomu, že kritérium dělitelnosti jedenácti je nejsložitější, budedobré si ho nechat až na konec. Rozhodneme se pro následující pořadí – nejprve aplikujemekritérium dělitelnosti čtyřmi, pak devíti a nakonec jedenácti.Při řešení nebudeme již používat tabulku ale „matematičtější způsob zápisu, tj. zjistímeomezující podmínky pro X, Y a Z.Realizace: Protože 4|n, je dvojciferné číslo 3Z dělitelné čtyřmi, nebo-li Z ∈ {2, 6}. Oba případyvyřešíme zvlášť.• Z = 2, tedy n = XY 2 432 je dělitelné devíti, právě když X + Y + 11 je dělitelné devíti,tj. X + Y + 2 je dělitelné devíti. Tedy X + Y + 2 je buď 9, nebo 18 (X + Y < 19). OdtudX + Y ∈ {7, 16}.1 Pokud žák začne s dělitelností pěti, již toto jeho rozhodnutí ukazuje na jeho vhled.