zadání

4.5. OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY 754.5 Optimalizační úlohyPříklad 6Úsečka AB nemá s přímkou p společný žádný bod. Najděte na přímce p bod Xtak, aby součet f = |AX| + |XB| byl co nejmenší.ŘešeníVhled: Klíčem k řešení je bod B ′ souměrný s bodem Bpodle přímky p. Pro libovolný bod Y na p pak platí |BY | = |B ′ Y |, tedy f = |AY | + |Y B ′ |.Tato velikost je nejkratší tenkrát, když lomená čára AY B ′ je úsečkou.Konstrukce:Sestrojme bod B ′ = s p (B), pak {X} = AB ′ ∩ p.Diskuse: Úloha má vždy jediné řešení.Příklad 7Je dána přímka p, mimo ni body A, B, A ≠ B, a délka d > 0. Na p sestrojteúsečku XY délky d tak, aby délka f = |AX| + |XY | + |Y B| byla minimální.ŘešeníVhled: Uvažujme případ, kdy úsečka AB protíná přímku p.Zvolme libovolně úsečku UV délky d na přímce p a sestrojme body P , Q tak, aby AV UPa AUV Q byly rovnoběžníky. Délka lomené čáry BV UA je teď f = |BV | + |V Q| + d a délkalomené čáry BUV A je g = |BU| + |UP | + d. Nechme úsečku UV „klouzat po přímce p a dívejmese, co se děje s délkami f, g.Strategie: Protože body P a Q jsou pevné, bude f nejkratší pro {V } = BQ ∩ p a g nejkratšípro {U} = BP ∩ p.Konstrukce:a) body P , Q jako průsečíky q ∩ k, kde k je kružnice k(A, d) a q je rovnoběžka s p vedenábodem A;b) zjistíme, která z úseček BP a BQ je kratší; nechť je například |BQ| ≤ |BP |;c) položíme {Y } = BQ ∩ p;d) hledaný bod X je vrchol rovnoběžníku AXY Q.✓✏ ❛ ❛|Diskuse: Úloha má vždy jediné řešení.✒✑⌢⊲⊳