zadání

56 KAPITOLA 3. KOMBINATORIKA7. Podívejte se na posloupnost čísel a 1 = 01, a 2 = 011, a 3 = 01101, a 4 = 011011011, . . . Každédalší číslo se vytvoří z předchozího tak, že mezi každé dvě sousední číslice předchozího číslase vloží jejich nezáporný rozdíl. Zjistěte, kolik nul a kolik jedniček bude v čísle a) a 5 , b) a 7 ,c) a 20 .Řešení1. 2502. a) 130; b) 113, neboť 0 není přirozené číslo.3. 164. 205. Všech přirozených čísel je 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325. Čísel dělitelných třemi je1 + 8 + 24 + 24 + 120 = 177.Poznámka: Výsledek je překvapivý. Dalo by se čekat, že těchto čísel bude přibližně 325 : 3.6. a) 43, b) 114, c) 250.7. a) 6 nul, 11 jedniček, b) 22 nul, 43 jedniček, c) 219 +13nul a 2 · 219 +13jedniček.3.3 Úlohy s geometrickým kontextemPříklad 4Z obdélníku s rozměry 5x4 lze k způsoby vystřihnout domino (obdélník s rozměry1x2). Určete k a úlohu zobecněte.ŘešeníVhled: Domino lze stříhat buď „na výšku, nebo „na délku. Každá poloha stříhaného dominaje jednoznačně určena jeho levým dolním vrcholem.Strategie: Všechny uzlové body obdélníku 5x4 popíšeme pomocí souřadnic tak, jak je nakreslenona obrázku.(0,4) (5,4)Domino „na výšku(0,0) (5,0)Domino „na délkuRealizace: Domino „na výšku lze střihat tak, že levý dolní vrchol domina padne do některéhoz bodů (0, 0), (1, 0),. . . , (4, 0), (0, 1), (1, 1),. . . , (4, 1), (0, 2), (1, 2),. . . , (4, 2). Tedy 5 · 3 = 15možností.Domino „na délku lze střihat tak, že levý dolní vrchol domina padne do některého z bodů(0, 0), (1, 0),. . . , (3, 0), (0, 1), (1, 1),. . . , (3, 1),. . . , (0, 3), (1, 3),. . . , (3, 3). Tedy 4 · 4 = 16možností.Výsledek: k = 15 + 16 = 31