zadání

38 KAPITOLA 2. TEORIE ČÍSEL– První případ je X + Y = 7. Dále můžeme postupovat dvěma způsoby. Buď naleznemevšechny kombinace X a Y a pak vyzkoušíme, zda jsou nalezená čísla dělitelná jedenácti,nebo aplikujeme současně kritérium dělitelnosti jedenácti. My půjdeme druhoucestou.Aplikujeme-li pravidlo dělitelnosti jedenácti na číslo n = XY 2 432, dostáváme podmínku11|X − Y + 2 − 4 + 3 − 2, tj. 11|X − Y − 1. Poslední vztah je splněn právě tehdy,když X − Y − 1 = 0.Tedy dostáváme soustavu rovnic: X + Y = 7 ∧ X − Y = 1. Po vyřešení dostanemeX = 4 a Y = 3. Prvním hledaným číslem je 432 432.– Druhý případ je X + Y = 16. Druhá rovnice z kritéria dělitelnosti jedenácti je opětX − Y = 1. Daná soustava nemá celočíselné řešení.• Z = 6, tedy n = XY 2 436 je dělitelné devíti, právě když X + Y + 6 je dělitelné devíti,tj. X + Y + 6 ∈ {9, 18}.– První případ je X + Y = 3. Z kritéria dělitelnosti jedenácti plyne:11|X − Y + 2 − 4 + 3 − 6, tedy X − Y − 5 ∈ {0, −11}.∗ X + Y = 3 ∧ X − Y = 5 → soustava nemá řešení v N;∗ X + Y = 3 ∧ X − Y = −6 → soustava nemá řešení v N.– Druhý případ je X + Y = 12∗ X + Y = 12 ∧ X − Y = 5 → soustava nemá řešení v N;∗ X + Y = 12 ∧ X − Y = −6 → soustava má jedno řešení X = 3 a Y = 9; druhéhledané číslo je 392 436.Výsledek: 432 432, 392 436.Poznámka: Celý soubor jednotlivých případů lze zapsat přehledně tabulkami. Znak 4 u rovnicznamená, že tyto rovnice jsou důsledkem podmínky 4|n. Analogicky pro 9 a 11.4 Z = 24 Z = 69 X + Y = 7 9 X + Y = 1611 X − Y = 1 (4, 3) –9 X + Y = 3 9 X + Y = 1211 X − Y = 5 −− –11 X − Y = −6 −− (3, 9)Úlohy17. Najděte všechna čísla tvaru AAB, která jsou dělitelná číslem a) 12, b) 18, c) 25, d) 45,kde A a B jsou různé číslice.18. Najděte všechna čísla A BAB (A není rovno B) menší než 3 000, která jsou dělitelnáa) 12, b) 45.