zadání

2.1. DĚLITELNOST 313. Zjistěte, která z následujících kritérií dělitelnosti jsou pravdivá:a) Číslo n je dělitelné číslem 50 ⇔ poslední dvojčíslí čísla n je dělitelné číslem 50.b) Číslo n je dělitelné číslem 27 ⇔ poslední trojčíslí čísla n je dělitelné číslem 27.c) Číslo n je dělitelné číslem 16 ⇔ poslední čtyřčíslí čísla n je dělitelné číslem 16.4. Číslo 111 111 má dva dělitele menší než 10. Najděte je. Najděte dalších pět dělitelů uvedenéhočísla.5. Která čísla z množiny {9, 98, 987, 9 876, . . . , 987 654 321, 9 876 543 219, 98 765 432 198, . . . }jsou složená? Proč?6. Množina šesti po sobě jdoucích přirozených čísel 2, 3, 4, 5, 6, 7 obsahuje čtyři prvočísla.Existují jiné množiny šesti po sobě jdoucích přirozených čísel, které obsahují a) čtyři prvočísla,b) tři prvočísla? Proč?7. Která prvočísla můžeme napsat jako součet a) 2, b) 3, c) 4, d) 6 po sobě jdoucích přirozenýchčísel? Vysvětlete proč.Řešení1. 13 770 = 2 · 3 4 · 5 · 17, 393 216 = 2 17 · 3, 25 875 = 3 2 · 5 3 · 23, 65 219 = 7 2 · 11 3 ,19 057 = 17 · 19 · 59.2. Číslo 19! není dělitelné číslem 59, a proto není také dělitelné číslem 19 057 = 17 · 19 · 59.Podobně 25 875 = 3 2 · 5 3 · 23 ̸ |19!, protože 23 ̸ |19!.U všech tří dalších čísel nenajdeme v prvočíselném rozkladu číslo, které by se nevyskytlo v prvočíselnémrozkladu čísla 19!. Přesto nelze tvrdit, že číslo 19! je dělitelné každým ze zbylýchtří čísel. Musíme si ještě všimnout mocnin u jednotlivých prvočísel prvočíselného rozkladu.V čísle 65 219 = 7 2 · 11 3 se číslo 11 vyskytuje ve třetí mocnině, ale v čísle 19! pouze v prvnímocnině. Proto 65 219 ̸ |19!.Abychom zjistili, v jakých mocninách se vyskytují prvočísla v prvočíselném rozkladu čísla 19!,musíme tento rozklad najít. Lehce zjistíme, že 19! = 2 16 · 3 8 · 5 3 · 7 2 · 11 · 13 · 17 · 19.Tedy 13 770 = 2 · 3 4 · 5 · 17 je dělitelem čísla 19!, ale číslo 393 216 = 2 17 · 3 není jeho dělitelem(všimněte si mocniny dvojky).3. a) Kritérium je pravdivé; b) kritérium je nepravdivé; např. n = 1 135; c) kritérium jepravdivé.4. Děliteli čísla 111 111 jsou například čísla 3, 7, 11, 13, 77, 33, 481,. . .5. Čísla, která končí sudou číslicí nebo pětkou, jsou vždy složená, budeme tedy zkoumat číslakončící 1, 3, 7, 9.Jestliže končí číslicí 9, pak jsou to čísla: 9, 9 876 543 219,. . . Součet číslic 1 až 9 je 45, číslo987. . . 1 je tedy dělitelné devíti. Přidáme-li k němu devítku, je zase dělitelné devíti. Každédalší číslo množiny, které končí devítkou, vznikne přidáním čísla 987. . . 1 k předchozímu číslu,je tedy dělitelné devíti.