zadání

1.5. LOGARITMICKÉ A EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 1726. a) x 1 = 7, x 2 = 8; b) x = −3, (−6 nevyhovuje);c) x = 5 4 , (0 nevyhovuje); d) x = 7 9 , (− 2 9 nevyhovuje).27. a) x = 11; b) x = 2; c) x = −1; d) x = 2 3 .28. a) x = 1; b) x = 1 2, (−2 nevyhovuje);c) x = −5, (− 50 3 nevyhovuje); d) x = √ 2, (− √ 2 nevyhovuje).29. a) x = 3, (− 3 4nevyhovuje); b) x = −2;c) x = 13 4 ; d) x 1 = − 1 2 , x 2 = 4 − 3 √ 2.1.5 Logaritmické a exponenciální rovniceDomluva: Symbol log x znamená log 10 x.Poznámka: Pro všechna a, b, x, y kladné, a ≠ 1, b ≠ 1, p, q ∈ R, p ≠ 0, platí:log a x = q ⇔ a q = x log a b = 1log b alog a xy = log a x + log a y log a x = log b xlog b axlog a y = log a x − log a y log a p x p = log a xlog a x q = q log a xPříklad 7log 2 (x + 1) − log 4 (x 2 − 1) = log 4 (x + 2)ŘešeníStrategie: Použijeme vztahy log 2 a = log 4 a 2 a log a x − log a y = log axy .Realizace: Aplikací uvedených vztahů dostanemeOdtudlog 4 (x + 1) 2 − log 4 (x 2 − 1) = log 4 (x + 2),log 4(x + 1) 2x 2 − 1 = log 4(x + 2).(x + 1) 2x 2 − 1 = x + 2,a po úpravě dostáváme kvadratickou rovnici. Její první kořen x 1 = √ 3 vyhovuje dané rovnicia druhý kořen x 2 = − √ 3 jí nevyhovuje, protože výraz log 2 (x + 1) = log 2 (1 − √ 3) ztrácí smysl.Výsledek: Rovnice má jediný kořen x = √ 3.Příklad 8( 425 )x+3 .( 1258 )4x−1 = 5 2Řešení IStrategie: Hlavní myšlenka řešení exponenciálních rovnic je prostá – snažíme se mít ve všechčlenech rovnice stejný základ.