zadání

74 KAPITOLA 4. PLANIMETRIE✓✏ ❛ ❛|Diskuse: Úloha má čtyři řešení, když se k 2 a k 3 protínají ve dvou bodech. Když se tyto✒✑⌢⊲⊳ kružnice dotýkají, úloha má dvě řešení. Když nemají společný bod, úloha nemá žádné řešení.✓✏ ❛ ❛ Naší pozornosti unikly dvě věci. Když kružnice k 2 a k 3 splývají, existuje nekonečně mnoho řešení;✒✑⌣⊲⊳ když průsečík těchto kružnic leží na přímce p, nemůže být vrcholem hledaného trojúhelníka – takovýpřípad nutno vyloučit.13. Klíčem je otáčení o 60 ◦ kolem vrcholu hledaného trojúhelníka.Konstrukce: Nechť k a , k b , k c jsou tři soustředné kružnice. Zvolme bod A ∈ k a a sestrojmekružnici k b ′, resp. k b” , která vznikne otočením kružnice k b kolem bodu A o úhel 60 ◦ , resp.−60 ◦ . Nechť C 1 , C 2 jsou průsečíky kružnic k c a k b ′ a C 3 , C 4 průsečíky kružnic k c a k b” .Otočením opačným k otočení, kterým vznikly kružnice k b ′ a k b ′′, dostaneme z každého z bodůC i příslušný bod B i . O tom, zda úloha má řešení, rozhoduje vzájemná poloha kružnic k c , k b ′(ta je stejná jako vzájemná poloha kružnic k c , k b” ). Nemají-li tyto kružnice společný bod,úloha nemá řešení. To nastává, právě když poloměr největší z kružnic k a , k b , k c je větší nežsoučet poloměrů zbylých dvou kružnic. Dvě řešení jsou v případě, když nastává rovnost, ačtyři řešení, když je zmíněný poloměr menší než součet poloměrů zbylých dvou kružnic.14. a) Nechť k ′ je obraz kružnice k ve stejnolehlosti f se středem P a koeficientem 2. Každýz průsečíků kružnic k, k ′ je bodem B. Úloha má právě dvě/jedno/žádné řešení, když|SP | < 3r/|SP | = 3r/|SP | > 3r.b) Nechť UV je tětiva kružnice k délky r. Nechť k ′ je kružnice se středem S dotýkající sepřímky UV . Tečna z bodu P ke kružnici k ′ je přímka p. Úloha má vždy dvě řešení.15. Klíč: Složením tří osových souměrností, jejichž osy procházejí společným bodem, dosta-opět osovou souměrnost.✓✏neme❛ ❛|Konstrukce: 1. zvolme bod X ∈ k; 2. bod Y = (s o ◦ s q ◦ s p )(X); 3. střed Z = X − • − Y ;✒✑⌢⊲⊳ 4. průsečík přímky ZS a kružnice je hledaný vrchol A; 5. B = s p (A), C = s o (A).Diskuse: Úloha má vždy dvě řešení, ta jsou středově souměrná podle středu S.✓✏ ❛ ❛ V případě, že Z = S, je čtvrtý krok konstrukce špatně popsaný, protože přímka ZS neexistuje. Nutno✒✑⌣⊲⊳ vzít místo ní osu úsečky XY .16. Klíč: Složením lichého počtu středových souměrností je opět středová souměrnost.Konstrukce: (Středovou souměrnost podle bodu S i označme s i .) 1. libovolně zvolíme bod X;2. bod Y = (s 5 ◦ s 4 ◦ s 3 ◦ s 2 ◦ s 1 )(X); 3. A 1 = X − • − Y ; 4. A 2 = s 1 (A 1 ), . . . .Diskuse: Nutno prověřit, zda sestrojený „pětiúhelník je opravdu pětiúhelníkem.Zdůvodnění: Vázaný vektor −−→ A 1 X se při každé středové souměrnosti přemístí do vázanéhovektoru opačně orientovaného. Po pěti středových souměrnostech bude tedy vektorem −−→ A 1 Y .