zadání

24 KAPITOLA 1. ROVNICEPříklad 14√ p − x = xŘešeníVhled: Uděláme několik konkretizací:• p = 2 → daná rovnice má tvar √ 2 − x = x, odkud 2 − x = x 2 a pak x 1 = 1, x 2 = −2;dosazením zjistíme, že vyhovuje pouze první kořen, protože po dosazení druhého kořene budemít pravá strana rovnice hodnotu −2 a levá +2;√ √13−12, x 2 = − 13+12;• p = 3 → rovnice má tvar √ 3 − x = x, odkud 3 − x = x 2 a pak x 1 =vyhovuje pouze první kořen;• p = −1 → rovnice √ −1 − x = x nemá žádné řešení, neboť pravá strana je nezáporná, tedyx ≥ 0 a současně výraz pod odmocninou je nezáporný, tedy x ≤ −1; tyto podmínky nelzesplnit současně.Realizace:√Umocněním dané√rovnice získáme kvadratickou rovnici x 2 +x−p = 0; ta má kořenyx 1 = 4p+1−12, x 2 = − 4p+1+12, jestliže je 4p + 1 ≥ 0, tj. p ≥ − 1 4. Dosazením zjistíme, žedruhý kořen nikdy nevyhovuje a první kořen vyhovuje pro√ všechna p ≥ 0, neboť ze zadáníplyne další podmínka x ≥ 0. To nastane tehdy, když x 1 = 4p+1−12≥ 0, tedy p ≥ 0.√Výsledek: p ∈ (−∞, 0) ⇒ M = {}, p ∈ 〈0, ∞) ⇒ M = { 4p+1−12}.Příklad 15|x + |p|| = |x| − pŘešení IVhled: Uděláme tři konkretizace:• p = 2 → rovnice má tvar |x + 2| = |x| − 2; graf funkce f(x) = |x + 2| − |x| + 2 ihned ukáže,že rovnice f(x) = 0 má množinu kořenů M = (−∞, −2〉.y4321✁ ✁✁✁ ✁✁✁✁✁✁✁✁ •−2 −1 0x• p = −2 → rovnice |x + 2| = |x| + 2; graf funkce g(x) = |x + 2| − |x| − 2 ukáže, že rovnicef(x) = 0 má množinu kořenů M = 〈0, ∞).