zadání

78 KAPITOLA 4. PLANIMETRIEPříklad 9Věž, která má výšku v metrů, je vidět ze vzdálenosti 299 m pod úhlem α a zevzdálenosti 97 m pod úhlem 3α. Zjistěte v.ŘešeníVhled: Situace je načrtnuta na obrázku.Z trojúhelníka ACD je v = 299tg α, z trojúhelníkaBCD je v = 97tg 3α.atg 3α = tg (2α + α) =tg 2α =Strategie: Označme x = tg α. Na soustavu dvourovnic o dvou neznámých v, α užijeme trigonometrickévztahy a soustavu vyřešíme.Výpočet: Použijeme vzorec z tabulektg 3α = = tg α(3 − tg 2 α)1 − 3tg 2 α ,případně ho odvodíme ze vztahůtg 2α + tg α1 − tg 2α · tg α2tg α1 − tg 2 α .Další výpočet je již jednoduchý. Vztah 299tg α = 97tg 3α lze psát jako299x = 97 · x(3 − x2 )1 − 3x 2 ,odkud x = 110, neboť x > 0. Tedy v = 299x = 29, 9.Výsledek: Věž má výšku 29,9 m.Úlohy20. Vrcholy trojúhelníka ABC dělí kružnici trojúhelníku opsanou v poměru 3 : 4 : 5. Zjistětevelikosti úhlů trojúhelníka ABC.21. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c = 10 a poloměrem w = 2 kružnicevepsané. Zjistěte velikosti jeho odvěsen a úhlů.22. Kružnice s poloměry a, b, a < b, mají vnější dotyk a jejich společné vnější tečny jsou nasebe kolmé. Určete a, když znáte b.23. Každé dvě ze tří kružnic k 1 (S 1 , 1), k 2 (S 2 , 4), k(S, r) se vzájemně vně dotýkají a všechnytři mají společnou vnější tečnu. Určete r.