zadání

4.3. KONSTRUKCE S POMOCNÝM ÚTVAREM 71kružnici x(X, z), která se dotýká přímky l a kružnice m v bodě A.Řešení7. Klíč: Výška CF rovnoramenného trojúhelníka ABC je současně jeho těžnicí; pomocný bodje těžiště T .Konstrukce: 1. úsečka CF délky v c ; 2. bod T na úsečce CF , pro který 2|F T | = |T C|;3. kolmice m na CF vedená bodem F ; 4. kružnice k(T, 2 3 t a); 5. její průsečíky s přímkou mjsou hledané vrcholy A, B.Diskuse: Je-li 2t a > v c má úloha jediné řešení, jinak žádné.8. Klíč: Kružnice k trojúhelníku ABC opsaná a bod L, ve kterém přímka osy úhlu γ protínákružnici k.Konstrukce: 1. pravoúhlý trojúhelník CDE: | < CDE| = 90 ◦ , |CD| = v c , |CE| = t c ;2. průsečík F úsečky DE a kružnice k 1 (C, o c ); 3. klíčový bod L je průsečík přímky CF s kolmicína ED vedenou bodem E; 4. průsečík S osy úsečky LC s přímkou EL; 5. kružnice k(S, |SC|)a její průsečíky A, B s přímkou DE.Je-li v c < o c < t c , má úloha jediné řešení. Je-li v c = t c = o c , má úloha nekonečně mnohořešení. Ve všech ostatních případech řešení neexistuje.9. Klíč: Trojúhelník AT R, kde T je těžiště trojúhelníka ABC a R je těžiště trojúhelníka ACD,přičemž ABCD je rovnoběžník.Vysvětlení: Protože AT CR je rovnoběžník, je |AR| = |T C| = 2 3 t c; protože body T , R dělíúhlopříčku BD na třetiny, je |T R| = 2 3 t b.Konstrukce: 1. trojúhelník AT R: |AT | = 2 3 t a, |T R| = 2 3 t b, |AR| = 2 3 t c; 2. bod B = s T (R);3. body M = T − • − R, C = s M (A).Diskuse: Pro trojúhelník AT R musí platit trojúhelníkové nerovnosti. Pak má úloha 1 řešení.10. Klíčem je společná tečna t obou kružnic procházející bodem A. Uvažujeme o dvou případech:• t, l jsou rovnoběžné:Konstrukce: 1. {L} = l ∩ AS; 2. X = A − • − L; 3. x(X, |XA|) je řešením.• t, l se protínají v bodě M:Konstrukce: 1. přímka t bodem A kolmo na AS; 2. osy o 1 a o 2 úhlů, které svírají přímky l, t;3. {X 1 } = AS ∩ o 1 , {X 2 } = AS ∩ o 2 ; 4. kružnice x 1 (X 1 , |X 1 A|) a x 2 (X 2 , |X 2 A|) jsou hledanářešení.✓✏ ❛ ❛|Diskuse: V prvním případě má úloha vždy jediné řešení, ve druhém případě má vždy dvě✒✑⌢⊲⊳ řešení.✓✏ ❛ ❛ Zapomněli jsme na případy, kdy l je tečnou kružnice m. Potom v prvním případě řešení neexistuje,✒✑⌣⊲⊳ ve druhém případě jeden z bodů X 1 , X 2 splyne s bodem S, a proto existuje pouze jediné řešení.