zadání

4.4. KONSTRUKCE POMOCÍ TRANSFORMACÍ 73Úlohy11. Sestrojte kružnici k, která prochází dvěma danými body A, B a dotýká se dané přímky p.12. Jsou dány dvě různé kružnice k 1 , k 2 a přímka p. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníkyABC s těmito třemi vlastnostmi: A ∈ k 1 , B ∈ k 2 a těžnice jdoucí bodem C je částípřímky p.13. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby jeho vrcholy ležely po jednom na třechrůzných daných soustředných kružnicích.14. Dána je kružnice k(S, r) a bod P ležící vně k. Sestrojte sečnu p kružnice k procházejícíbodem P a protínající kružnici k v bodech A, B tak, aby bylo a) A = B − • − P , b) |AB| = r.15. Dány jsou tři různé přímky p, q, o procházející společným bodem S a kružnice k(S, r).Sestrojte trojúhelník ABC vepsaný do k tak, aby přímky p, q, o byly osami stran AB, BC,CA v uvedeném pořadí.16. Dáno je 5 bodů S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 . Sestrojte pětiúhelník A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 tak, že body S ijsou středy jeho stran: S 1 = A 1 − • − A 2 ,. . .Řešení11. Úlohu převedeme na úlohu z příkladu 5. Sestrojíme osu o úsečky AB a přímku q = s o (p).Konstrukce: 1. osa o úsečky AB; 2. přímka q souměrná s přímkou p podle přímky o; 3. kružnicek 1 a k 2 , které se dotýkají přímek p, q a procházejí bodem A (viz konstrukce příkladu 5).Diskuse: Úloha má vždy dvě řešení.✓✏ ❛ ❛|✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ V řešení jsme uvažovali pouze jeden případ, kdy úsečka AB nemá s přímkou p společný žádný bod✒✑⌣⊲⊳a není kolmá na přímku p, ani s ní rovnoběžná. Musíme uvažovat pět případů:• Úsečka AB má s p společný aspoň jeden vnitřní bod. Úloha nemá řešení.• Úsečka AB je kolmá na p a A ∈ p. Kružnice nad průměrem AB je jediné řešení.• p ‖ AB, A neleží na p: 1. bod {C} = o ∩ p; 2. kružnice k opsaná trojúhelníku ABC je jediné řešení.• Úsečka AB leží uvnitř jedné poloroviny určené přímkou p a p ⊥ AB: 1. osa o úsečky AB, vzdálenostrovnoběžek o, p označme d; 2. kružnice k(A, d); 3. průsečíky k∩o označme Q, R; 4. kružnice k 1 (Q, |QA|)a k 2 (R, |RA|) jsou dvě řešení.• Viz základní řešení.Poznámka: Úlohu lze řešit použitím mocnosti bodu ke kružnici. Hrubý návod: Body A, Bvedeme jakoukoli kružnici a z bodu {D} = AB ∩ p vedeme tečnu DT k této kružnici (T jebod dotyku). Kružnice l(D, |DT |) protne přímku p v bodech C 1 , C 2 . Kružnice opsané trojúhelníkůmABC 1 a ABC 2 jsou dvě hledané kružnice.12. Klíč: Přímka p je osou souměrnosti trojúhelníka ABC.Konstrukce: 1. kružnice k 3 souměrná s kružnicí k 1 podle přímky p; 2. průsečíky B a B ′ kružnick 2 a k 3 ; 3. body A a A ′ souměrné s B a B ′ podle p; 4. průsečíky C 1 a C 2 přímky p s kružnicím(A, |AB|); 5. průsečíky C 1 ′ a C′ 2 přímky p s kružnicí m′ (A ′ , |A ′ B ′ |); 6. trojúhelníky ABC 1 ,ABC 2 , A ′ B ′ C 1 ′ , A′ B ′ C 2 ′ jsou hledaná řešení.