zadání

4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7924. V tětivovém čtyřúhelníku ABCD je |BD| = 1 + √ 3, | < ACD| = 45 ◦ , | < ADB| = 60 ◦ .Určete délky všech stran, které jsou těmito údaji určeny jednoznačně.25. Pro výšky AK a BL trojúhelníka ABC platí, že |AK| ≥ |BC|, |BL| ≥ |AC|. Vypočtětevelikosti úhlů trojúhelníka ABC.26. Čtverec ABCD je úsečkou AM (M leží na straně CD) rozdělen na trojúhelník s obsahem30 a lichoběžník s obsahem 114. Určete velikost úsečky AM.Řešení20. Situaci modelujme na ciferníku hodin. Bod A umístíme na číslo 12, bod B na 3 a bodC na 7. Oblouk AB odpovídá třem hodinám, oblouk BC čtyřem a oblouk CA pěti hodinám.Odtud α = 60 ◦ , β = 75 ◦ , γ = 45 ◦ .21. Klíč: Viz příklad 8.Označme U, V , Z body, v nichž se kružnice vepsaná trojúhelníku ABC dotýká stran AC, BC,AB. Dále označme u = |AU|, v = |BV |. Pak je u = |AU| = |AZ|, v = |BV | = |BZ|, neboť obětečny vedené z bodu ke kružnici jsou stejně dlouhé. Konečně je 2 = |CV | = |CU|. Víme, žeu+v = |AB| = 10 a z Pythagorovy věty (u+2) 2 +(v+2) 2 = 100, tj. u 2 +v 2 +4(u+v)+8 = 100.Odtud u 2 + v 2 = 52 a dále u 2 − 10u + 24 = 0, tedy u 1 = 4, u 2 = 6, v 1 = 6, v 2 = 4.Velikosti odvěsen jsou 6 a 8 a úhly jsou 90 ◦ , arctan 3 4 a arctan 4 3 .22. a = b(3 − 2 √ 2)23. Klíčem je obecná situace. Kružnice m(A, a), l(B, b), a < b, mají vnější dotyk a jejich tečnávzdálenost je t. Pak zřejmě z Pythagorovy věty aplikované na trojúhelník ABC (kde AC jerovnoběžná s tečnou a BC je na ni kolmá) platí (a + b) 2 = t 2 + (b − a) 2 , tj. t = 2 √ ab.Když tento vztah aplikujeme na oba případy situace, která je popsaná textem úlohy, dostáváme:• jestliže r < 1, bude r = 4 9 ;• jestliže r > 1, bude r = 4.24. Z věty o obvodovém úhlu plyne, že | < ABD| = | < ACD| = 45 ◦ .V trojúhelníku ABD známe všechny tři úhly a délku strany BD. Pomocí sinové věty pakzjistíme délky |AB| = √ 6, |AD| = 2. Bod C může ležet kdekoli na menším z oblouků BD,proto délky stran BC a CD určit nelze. Dodejme, že poloměr kružnice čtyřúhelníku opsanéje √ 2.25. Protože je AK ⊥ BC, je |AC| ≥ |AK|. Podobně |BC| ≥ |BL|. Po vynásobení máme|AC||BC| ≥ |AK||BL|. Na druhé straně po vynásobení nerovností ze zadání úlohy dostaneme|AC||BC| ≤ |AK||BL|. Odtud plyne |AC||BC| = |AK||BL|, tedy |AK| = |BC| = |BL| == |AC|. Trojúhelník ABC je pravoúhlý rovnoramenný. Má úhly 45 ◦ , 45 ◦ , 90 ◦ .26. Obsah čtverce je 30+114 = 144. Tedy jeho strana má délku 12. Obsah trojúhelníka AMDje 1 2|AD||DM| = 6|DM| = 30. Odtud |DM| = 5. Pythagorova věta aplikovaná na trojúhelníkAMD dá pak |AM| = 13.