zadání

34 KAPITOLA 2. TEORIE ČÍSEL(n + 1)(m + 1)(k + 1) − 1 vlastních dělitelů.Druhé zobecnění: Nechť p, q, r jsou prvočísla. Číslo p n q m r k má (n + 1)(m + 1)(k + 1) dělitelů,tedy (n + 1)(m + 1)(k + 1) − 1 vlastních dělitelů.Třetí zobecnění: Nechť p 1 < p 2 < p 3 < · · · < p k jsou prvočísla a n 1 , n 2 , n 3 , . . . n k jsoupřirozená čísla. Pak d(p n 11 pn 22 pn 33 . . . , pn kk ) = (n 1 + 1)(n 2 + 1)(n 3 + 1) . . . (n k + 1).Poslední zobecnění dává důležitou a silnou větu z elementární teorie čísel. Čtenář se k nídopracoval víceméně samostatně způsobem typickým pro objevování v oblasti teorie čísel –od konkrétních modelů k obecným větám.✓✏ ❛ ❛|15. Řešení jsou dvě: n = 8 a n = 15.✒✑⌢⊲⊳ Zdůvodnění: 8 = 2 3 , tedy d(8) = 4 a 9 = 3 2 , tedy d(9) = 3; 15 = 3 · 5, tedy d(15) = 4a 16 = 4 2 , tedy d(16) = 3.✓✏ ❛ ❛ Zápis 16 = 4 2 není prvočíselný rozklad. Prvočíselný rozklad zní 16 = 2 4 . Proto d(16) = 5 a n = 15✒✑⌣⊲⊳ není řešení. Úloha má jenom jedno řešení.16. a) 140; b) 54; c) 60.2.3 Algebrogramy a dělitelnostDomluva: V následujícím textu značíme číslice velkými písmeny abecedy.Příklad 2Najděte všechna trojciferná čísla ABB dělitelná čtyřmi. Číslice A a B jsourůzné.ŘešeníVhled: Pokud dostaneme otázku „Je číslo 124 dělitelné 4, 5 či 9?, je nám ihned jasné, jakbudeme postupovat. Vzpomeneme si na kritéria dělitelnosti a aplikujeme je, případně číslapřímo vydělíme. Ovšem úloha, kterou máme řešit nyní, má poněkud jiný charakter. Požadujeod nás použití kritérií dělitelnosti na vyšší úrovni a jakoby z druhé strany. Tady nemáme číslazadaná, máme je přímo vytvářet.Hledáme čísla typu ABB. To jsou např. čísla 122, 544, 855, 977, 633. Mezi nimi musímevybrat ta, která jsou dělitelná čtyřmi. Jsou to např. 544, 288, 688.Strategie: Víme, že číslo ABB je dělitelné čtyřmi, jestliže je jeho poslední dvojčíslí, tedy čísloBB, dělitelné čtyřmi. Najdeme všechna taková BB.Realizace: Víme, že B ∈ {0, 1, . . . , 9}, tedy BB ∈ {00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Dělitelnáčtyřmi jsou pouze čísla 00, 44 a 88. K nim přidáme čísla od 0 do 9 na místo stovek(písmeno A) tak, aby A ≠ B, a jsme hotovi.✓✏ ❛ ❛|Výsledek: 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 44, 144, 244, 344, 544, 644, 744, 844,✒✑⌢⊲⊳ 944, 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 988.✓✏ ❛ ❛ U úloh tohoto typu je nutné dát pozor na to, jaké je přesné zadání. Zejména kterými čísly mají být✒✑⌣⊲⊳ hledaná čísla dělitelná, zda mohou být hledané číslice stejné, zda není dána nějaká omezující podmínka,např. hledáme pouze čísla o určitém počtu cifer či čísla větší či menší než nějaké dané číslo. V našem