zadání

6 KAPITOLA 1. ROVNICEPříklad 2Vodní nádrž je možno plnit třemi přívody. Druhým se naplní za dobu o polovinudelší než prvním, třetím za dobu o osm hodin delší než prvním. Všemipřívody současně se naplní za 4,5 hodiny. Za jakou dobu by se nádrž naplnilakaždým přívodem zvlášť?ŘešeníVhled: V této úloze vystupují u každého přívodu dva údaje – za jak dlouho se tímto přívodemnaplní celá nádrž a jaká část nádrže se přívodem naplní za jednu hodinu.Strategie: Nechť t 1 je čas, za který se prvním přívodem naplní celá nádrž, a V 1 objem té části,která se naplní prvním přívodem za jednu hodinu. Podobně t 2 , V 2 charakterizují druhý přívoda t 3 , V 3 třetí přívod. Pomocí těchto údajů zapíšeme všechny vazby z textu úlohy.Dále využijeme základní vazby: t 1 V 1 = 1, t 2 V 2 = 1, t 3 V 3 = 1. Získané rovnice vyřešíme.Realizace: Každou ze tří podmínek z textu úlohy zapíšeme pomocí symbolů.• Druhým přívodem se nádrž naplní za dobu o polovinu delší než prvním, tj. t 2 = 3 2 · t 1.• Třetím přívodem se naplní za dobu o osm hodin delší než prvním, tj. t 3 = t 1 + 8.• Všemi přívody současně se nádrž naplní za 4,5 hodiny, tj. 4, 5(V 1 + V 2 + V 3 ) = 1, neboť částnádrže, která nateče za hodinu všemi přívody, je V 1 + V 2 + V 3 .Z prvních dvou vztahů a základních vazeb dostaneme 2V 1 = 3V 2 a V 1 = V 3 + 8V 1 V 3 . Máme třirovnice o třech neznámých V 1 , V 2 , V 3 . Z nich máme (záporná řešení neuvažujeme): V 1 = 110 ,t 1 = 10, V 2 = 115 , t 2 = 15, V 3 = 118 , t 3 = 18.Odpověď: Nádrž se prvním přívodem naplní za 10 hodin, druhým za 15 hodin, třetím za 18 hodin.Úlohy1. Otci a synovi je dohromady 30 let. Syn se narodil, když bylo otci osmkrát tolik, kolik jednes synovi. Kolik je dnes synovi?2. Na oslavě svých narozenin Mařenka řekla mamince: „Dnes je ti dvakrát tolik, co je mně.Za čtyři roky bude Honzovi tolik, kolik je dnes mně, a tvůj věk bude součtem našich věků.Kolikáté narozeniny Mařenka oslavuje?3. a) Loni byl otec osmkrát starší než syn. Dnes je jim dohromady 47 let. Kolik je dnes otci?b) Loni bylo otci a synovi dohromady 40 let. Dnes je otec pětkrát starší než syn. Kolik letje dnes otci?4. Dnes je otci tolik, co matce se synem dohromady. Syn se narodil, když oběma rodičůmdohromady bylo 50 let. Až bude synovi tolik, kolik bylo matce, když otci bylo 20, bude otci43 let. Kolik je dnes otci, matce a synovi?5. Pavlovi a Janě je dnes dohromady 27 let. Až bude Pavlovi tolik, kolik je Janě dnes, budemít Jana dvojnásobek let, co měl Pavel, když jí bylo tolik, co je dnes Pavlovi. Kolik je dnesJaně?