Projektering og fundering af kompliceret stålkonstruktion - Aalborg ...

Gruppe P18
8. Stabilitetsanalyse
Disse kontrolleres ved indsættelse af værdier:
7,5 m · 392 mm
000 MPa
= 326 < 0,12210 = 95
307 mm · 40 mm 345 MPa
Det fremgår heraf, at det er nødvendigt at foretage en kipningsanalyse.
Det er ligeledes muligt, at undersøge behovet for kipningsanalyse ved at anvende følgende
udtryk; λ ≤ 0,4, hvor λ er det relative slankhedsforhold. Som det fremgår i senere
beregninger, er denne ej heller overholdt. [Bent Bonnerup, 2009]
8.2.1 Kipningsbæreevne bestemt ved arbejdsligningen
Kipningsbæreevnen bestemmes ved at bestemme en kritisk last for kipning ved hjælp af
arbejdsligningen givet i formel 8.15. Lasterne påført bjælken udfører et ydre arbejde, og
de resulterende tøjninger i bjælken udfører et indre arbejde. Det indre arbejde sættes lig
det ydre, og den kritiske last kan isoleres.
A ydre = A indre (8.15)
I begge led indgår vinkeldrejningen. Denne er ikke på forhånd kendt, og der ønskes
bestemt et udtryk, som beskriver vinkeldrejningens forløb langs bjælkeaksen. Her gælder
randbetingelserne, at vinkeldrejningen i enderne skal være lig nul. Til dette anvendes en
sinusfunktion. Dette er en tilnærmelse af virkeligheden, men fejlene dette vil medføre,
antages som værende acceptable.
( x
)
ϕ = ϕ 0 · sin
l π (8.16)
Det fremgår, at funktionen givet i formel 8.16 overholder kravene, da funktionen vil være
lig nul ved x = 0 og x = l. Dermed kan udtrykkene for det indre og det ydre arbejde
opstilles. Disse opstilles i et kombineret udtryk af formel 8.17:
∫ l
0
( M 2 · ϕ 2
E · I z
+ z · q · ϕ 2 )
dx =
∫ l
0
(
C 1
( d 2 ϕ
dx 2 ) 2
+ C
( dϕ
dx
) 2
)
Her er tværsnitskonstanterne C og C 1 defineret i formel 8.18 og 8.19.
dx (8.17)
C = G I v (8.18)
C 1 = E I w (8.19)
Momentforløbet i bjælken bestemmes af formel 8.20. Dette er et kombineret udtryk
indeholdende momentet fra den jævnt fordelte linjelast samt moment i indspændingen.
M = 1 8 q · x (3l − 4x) + M x
0
l
(8.20)
Da det antages, at kræfterne angriber i overflangen, indsættes z = h 2
og momentudtrykket,
givet i formel 8.20, i venstre side af formel 8.17. Dermed fremkommer integralet givet i
formel 8.21.
60
∫ l
2 2
E · I z
0
M 2 · ϕ 2 + h 2 q · ϕ2 · dx (8.21)