Institut für Mathematik der Universität Augsburg - am Institut für ...

Die stochastische Geometrie stellt Modelle zur Beschreibung und Verfahren zur statistischen Analyse von
zufälligen geometrischen Strukturen zur Verfügung. Derartige Gebilde treten u.a. als Gefügestrukturen
oder bei mikroskopischen Gewebeuntersuchungen und generell bei Problemen der Bildverarbeitung und
Mustererkennung auf. Zu den Grundtypen von Modellen zählen die zufälligen Punktmuster (Punktprozesse),
Geraden- und Faserprozesse, zufällige Mosaike sowie Keim-Korn-Prozesse. Beim letzteren handelt
es sich um zufällig verstreute und teils sich überlappende zufällige Figuren. Zur Behandlung solcher
Zufallsmengen werden geometrische und stochastische Kenngrößen definiert, zu deren Analyse fortgeschrittene
Ergebnisse sowohl der Integralgeometrie als auch der Wahrscheinlichkeitsrechnung herangezogen
werden. Dies gilt insbesondere bei der Berechnung von Varianzen von empirischen Kenngrößen
und der daraus resultierenden Behandlung von Extremalproblemen für konvexe Körper, die auch als ein
Versuchsplanungsproblem für Zylinder- und Hyperebenenprozesse interpretiert werden können.
Statistik von zufälligen Mengen und markierten Punktprozessen
Alle stochastisch-geometrischen Modelle von punkt-, linien- oder kornartigen Strukturen in einem euklidischen
Raum verlangen geeignete statistische Verfahren zur Schätzung sowohl von Parametern als auch
von nichtparametrischer Kenngrößen, welche die Modelle beschreiben. Damit verbunden sind auch statistische
Testverfahren und Methoden zur Modellidentifikation. In der Regel wird dabei von einer einzigen
Beobachtung in einem möglichst großen Beobachtungsfenster ausgegangen. Meist wird eine unbegrenzt
wachsende Fensterfolge (large domain statistics) angenommen, was bei einigen Modellklassen –
insbesondere beim Poissonschen Kornmodell (Boolesches Modell) – zu akzeptablen asymptotischen Verfahren
geführt hat. Insgesamt ist festzustellen, dass im Vergleich zur klassischen Mathematischen Statistik
die räumliche Statistik noch recht gering entwickelt ist. Hauptprobleme sind einerseits die Modellkomplexität
und die vergleichsweise geringe Information aus der Beobachtung und andererseits die den
Modellen innewohnenden stochastischen und geometrischen Abhängigkeiten. In der letzten Zeit wurde
die Untersuchung von Mischungsbedingungen von zufälligen Mengen und die daraus folgenden Herleitung
von Grenzwertsätzen für empirische Funktionale zu einem zentralen Arbeitsgegenstand. Ein interessantes
und praktisch relevantes Problem ist die Gewinnung von Aussagen über 3D-Strukturen durch
die statistische Analyse von linearen und ebenen Schnitten, was unter dem Schlagwort "Stereologie" zusammengefasst
wird.
Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter
• Gerlinde Wolsleben (Sekretärin)
• Kai-Friederike Oelbermann, Dipl.-Math.
• Olga Birkmeier, M.Sc.
• Stella David, Dr.
Diplomarbeiten
Simon Bley: „Statistische Graphik und große Datensätze“
Erstgutachter: Prof. Unwin, Zweitgutachter: Prof. Pukelsheim
Ulrike Maier: „Der Deming/Stephan-Ansatz für das iterative proportionale Anpassungsverfahren“
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