Institut für Mathematik der Universität Augsburg - am Institut für ...

Nichtlineare Analysis
Prof. Dr. Hansjörg Kielhöfer
Prof. Dr. Dirk Blömker
Arbeitsgebiete des Lehrstuhls
Nichtlineare Analysis (Kielhöfer) bis 30.9.2010
Anschrift
Universität Augsburg
Institut für Mathematik
D-86135 Augsburg
Telefon: (+49 821) 598 - 2142
Telefon: (+49 821) 598 - 2156
Telefax: (+49 821) 598 - 2200
Internet:
Hansjoerg.Kielhoefer@Math.Uni-Augsburg.DE
Dirk.Bloemker@Math.Uni-Augsburg.DE
www.math.uni-augsburg.de/ana/
Es ist ein allgemeines Prinzip in der belebten wie unbelebten Natur zu erkennen, eine größtmögliche
Wirkung bei möglichst geringem Aufwand zu erzielen. Menschen, Tiere, Pflanzen
folgen diesem Prinzip meist instinktiv, aber auch ein Lichtstrahl sucht sich in einem inhomogenen
Medium den Weg, auf dem er in kürzester Zeit zum Ziel gelangt. Ein Fettauge auf der
Suppe ist kreisförmig, weil dadurch der Rand am kleinsten wird, was ein allgemeines physikalisches
Prinzip bestätigt, wonach sich stabile Gleichgewichtszustände durch minimale Energie
auszeichnen. Die Natur läßt sich deshalb mit Erfolg durch Extremalprinzipien beschreiben,
insbesondere, wenn dies in mathematischer Sprache geschieht. Wie minimiert (maximiert) man
indessen “Funktionale“? Schon in der Schule lernt man, daß dazu die 1. Ableitung gleich Null
zu setzen ist. Bei komplexen Systemen sind die relevanten Funktionale, die z.B. die Energie beschreiben,
freilich komplizierter als es eine reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen
ist, das Prinzip ist allerdings das gleiche: In einem extremen Zustand verschwindet die „1. Variation“,
welche die historische Bezeichnung für die 1. Ableitung eines allgemeinen Funktionals
ist.
Das Verschwinden der 1. Variation in Extremalen bedeutet, daß Extremale, welche i.a. Funktionen
einer oder mehrerer Veränderlicher sind, mathematische Gleichungen erfüllen müssen,
welche in der Regel nichtlineare (partielle) Differentialgleichungen sind. Diese Gleichungen
enthalten eine Reihe von Parametern, die physikalische Daten repräsentieren. Es ist bekannt,
daß sich bei Änderung der Parameter auch die extremalen Zustände ändern können, wie dies
im einfachsten Fall einer reellwertigen Funktion einer Veränderlichen dargestellt ist:
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