Institut für Mathematik der Universität Augsburg - am Institut für ...

Optionen auf ein Gut wie zum Beispiel eine Aktie sind bedingte Termingeschäfte zwischen zwei Parteien,
die ihrem Halter das Recht geben, an oder bis zu einem bestimmten Zeitpunkt (Verfallsdatum) eine bestimmte
Menge eines bestimmten Gutes zu einem bestimmten Preis zu kaufen (Call-Optionen) oder zu verkaufen
(Put-Optionen). Standard Optionen ('plain vanilla' Optionen) sind europäische Optionen, bei denen
die Ausübung der Option nur zum Verfallsdatum möglich ist, und amerikanische Optionen, bei denen dies
bis zum Verfallsdatum geschehen kann. Alle anderen Optionen werden als exotisch bezeichnet. Dazu gehören
Basket Optionen, die sich auf mehrere Güter (z.B. mehrere Aktien) beziehen, sowie Barriere Optionen,
bei denen die Auszahlung davon abhängig ist, ob vorgegebene Kursschranken für die Güter erreicht oder
nicht erreicht werden. Bei Vorliegen sowohl einer oberen als auch unteren Schranke spricht man von Doppel-Barriere
Optionen. Die Aufgabe der vorliegenden Masterarbeit bestand in der Entwicklung und
Implementation numerischer Verfahren zur Berechnung des Preises europäischer Doppel-Barriere Basket
Call-Optionen auf der Grundlage der entsprechenden Black-Scholes Gleichungen unter Verwendung der
Methode der Finiten Elemente. Im Unterschied zu 'plain vanilla' europäischen Optionen ist das räumliche
Rechengebiet im Falle von Optionen auf zwei Güter mit den Kursen S1 und S 2 ein durch die Schranken
Kmin und
K bestimmtes trapezartiges Teilgebiet - des positiven Quadranten des zweidimensionalen Euklidischen
max
Raums, dessen Rand Γ = ∂Ω
aus zwei Intervallen Γ = , K ) × { 0}
1
( min max
K und = 0}
× ( K , K )
T
den Koordinatenachsen sowie den Geraden Γ = S = ( S , S ) | S + S = K } und
4
T
= { S = ( S1,
S2
) | S1
+ S2
= Kmax}
3
{ 1 2 1 2 min
Γ auf
2
{ min max
Γ besteht. Die Black-Scholes Gleichung stellt ein Randwertproblem für
eine parabolische Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einer Endzeitbedingung zum Verfallsdatum T
dar, wobei die Randbedingungen eine homogene Dirichlet-Randbedingung auf Γ 3 und inhomogene
Dirichlet-Randbedingungen auf Γ 1,
Γ 2 und Γ4 beinhalten. Dabei ist zur Bestimmung der Randbedingungen
auf Γ1 und Γ2 jeweils die Lösung einer assoziierten eindimensionalen Black-Scholes Gleichung erforderlich,
während auf Γ4 eine feste Größe ('Bonus') vorgegeben ist.
Carina Willbold, „Modellreduktion durch balanciertes Abschneiden und Proper Orthogonal Decomposition
für die Immersed Boundary Method”
(Bachelorarbeit)
Erstgutachter: Ronald Hoppe
Die Immersed Boundary Methode dient dazu, Wechselwirkungen von viskoelastischen Körpern mit einem
Fluid, in das sie eingebettet sind, zu simulieren. Dabei beeinflussen die Körper das umgebende Fluid, werden
aber andererseits durch die Strömung mitbewegt. Eine Finite-Elemente-Diskretisierung der Strömungsgleichungen,
hier der instationären, inkompressiblen Stokes-Gleichungen, führt auf ein differentiell algebraisches
System, dessen Dimension von der Anzahl der Basisfunktionen abhängt. Um den Aufwand beim
schrittweisen Lösen zu reduzieren, sucht man nun nach Möglichkeiten, das diskrete System durch eins derselben
Art, jedoch von wesentlich kleinerer Dimension, zu ersetzen, ohne dabei einen zu großen Fehler zu
begehen. Dazu stellen wir die Methoden des balancierten Abschneidens und der Proper Orthogonal
Decomposition vor.
Fritz Colonius
Diplomarbeit
Tim Bremer, " Invarianz-Entropie und topologische Entropie für lineare Systeme“
Erstgutachter: Fritz Colonius
Diese Diplomarbeit ist einem Problemfeld aus der Theorie von dynamischen Systemen und Kontrollsystemen
gewidmet. Die topologische Entropie linearer Abbildungen (und linearer Differentialgleichungen) kann
nach einem klassischen Resultat von Bowen (1972) aus den instabilen Eigenwerten berechnet werden. Für
die Invarianz-Entropie von Kontrollsystemen, die eng mit der topologischen Entropie verwandt ist, spielen
spezifische Startmengen eine große Rolle. Daraus ergibt sich das Interesse an dem in dieser Diplomarbeit
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