Institut für Mathematik der Universität Augsburg - am Institut für ...

Reischmann Lisa: Penrose-Pflasterung mit lokaler Zehneck-Symmetrie
Erstgutachter: Prof. Eschenburg, Zweitgutachter: Prof. Hachenberger
Ruf Angela: Semidefinite Optimierung
Erstgutachter: Prof. Borgwardt, Zweitgutachter: Prof. Jungnickel
Frau Ruf beschäftigt sich mit Semidefiniten Optimierungsproblemen. Dabei treten im Gegensatz zur linearen oder
nichtlinearen Optimierung Restriktionen auf, die bestimmte zu besetzende Variablen so aneinanderkoppeln, dass
man diese als Einträge einer oder mehrerer Matrizen ansieht. Von diesen so entstehenden Matrizen wird nun
verlangt, dass sie positiv semidefinit sind. Damit werden diese Probleme deutlich schwerer als in der klassischen
Theorie. Gegenstand der Arbeit sind dann nach der Erörterung der Problematik die Lösungsverfahren, die hierzu
zur Verfügung stehen. Insbesondere sind dies Innere-Punkte-Verfahren. Diese werden beschrieben,
implementiert und getestet und ihre Wirkungsweise wird dokumentiert.
Rupprecht Lea Katrin: Aufwandsuntersuchungen beim Dakin-Algorithmus für Ganzzahlige Optimierung unter
dem probabilistischen Rotations-Symmetrie-Modell
Erstgutachter: Prof. Borgwardt, Zweitgutachter: Prof. Jungnickel
Frau Rupprecht führt eine empirische Durchschnittsanalyse eines bestimmten Verfahrens zur ganzzahligen
Optimierung, nämlich des Dakin-Verfahrens durch. Ganzzahlige Optimierung sucht den besten ganzzahligen
Lösungsvektor, der bestimmte (lineare) Restriktionen oder Anforderungen erfüllt. Dies ist deutlich schwerer als
lineare Optimierung. Das hierfür geeignete Dakin-Verfahren benutzt eine Branch-and-Bound-Strategie, indem es
das Hauptproblem immer wieder in jeweils 2 Teilprobleme aufteilt und für die Teilprobleme die Lösungsfrage neu
stellt. Die Aufteilung erfolgt nach folgendem Prinzip: Ist ein Vektor x = (x 1 ,...,x i ,x n ) optimal für das derzeitige
Hauptproblem, aber x i nicht ganz, dann eignet sich x nicht als Lösungsvorschlag, weil es die
Ganzzahligkeitsanforderung verletzt. Man führt nun (für zwei verschiedene Teilprobleme) die Zusatzrestriktionen
x i ≤ [x i ] und
x i ≥[x i ] ein und hat damit zwei Probleme geschaffen. Diese werden nun ohne die
Ganzzahligkeitsbedingungen optimiert. Das Branch-and-Bound-Prinzip erlaubt es nun, auf die Weiterbehandlung
und Weiterteilung von Problemen zu verzichten, bei denen der höchste erzielbare Nutzen geringer ist als bei
einem geeigneten ganzzahligen Punkt, der schon bekannt ist. Auf diese Weise spart diese Methode viel ein. Nun
werden Zufallsprobleme nach dem sogenannten Rotationssymmetrie-Modell (Kugeloberflächenverteilung und
Gauß-Verteilung) erzeugt und mit diesem Verfahren gelöst. In Abhängigkeit von den gewählten Dimensionen
werden nun Durchschnittswerte für den Rechenaufwand ermittelt und tabelliert.
Sauer Christoph: Algorithmen zur Bestimmung von Kreisen gerader und ungerader Länge in ungerichteten Graphen
Erstgutachter: Prof. Jungnickel, Zweitgutachter: Prof. Hachenberger
Kreise gehören zu den grundlegenden Strukturen der (algorithmischen) Graphentheorie; so sind die besonders
wichtigen bipartiten Graphen dadurch gekennzeichnet, dass sie keine Kreise ungerader Länge enthalten. Die
Länge eines kürzesten Kreises (die sogenannte Taillenweite) ist ein wichtiger graphentheoretischer Parameter,
der beispielsweise im Kontext der Planarität auftaucht. Herr Sauer hatte die Aufgabe, in seiner Bachelorarbeit
zwei ähnliche, aber genauer spezifizierte Probleme über Kreise darzustellen und zu implementieren, nämlich die
Bestimmung kürzester Kreise von gerader Länge (KKGL) bzw. von ungerader Länge (KKUL) in ungerichteten
Graphen (ohne Gewichtsfunktion). Er sollte dazu insbesondere zwei Arbeiten von Monien (1983) und Yuster
(1997) heranziehen. Die zweite dieser Arbeiten ist technisch durchaus recht anspruchsvoll und stellt wohl die
Grenze dessen dar, was man von einer Bachelorarbeit erwarten kann.
Schlaffer Tobias: Eine Einführung in die Lagrange-Relaxations-Technik
Erstgutachter: Prof. Hachenberger, Zweitgutachter: Prof. Borgwardt
In der kombinatorischen Optimierung treten häufig komplexe Problemstellungen auf, die man mit vernünftigem
Aufwand nur näherungsweise lösen kann. Die Grundidee der Lagrange-Relaxations-Methode besteht darin,
gewisse, als unangenehm geltende Restriktionen aufzugeben („relaxieren“) und diese mit den sog. „Lagrange-
Multiplikatoren“ gewichtet in die Zielfunktion zu verbannen. Für jeden festen Lagrange-Multiplikator entsteht dann
ein sog. Lagrange-Problem, dessen Lösung (bei Minimierungsproblemen) eine untere Schranke für die gesuchte
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