Institut für Mathematik der Universität Augsburg - am Institut für ...

genau dann regulär ineinander deformiert werden können (Selbstschnitte sind erlaubt, aber keine
Knicke), wenn ihre Tangentendrehzahl übereinstimmt. In dem Film "Outside-In" wird eine solche
Deformation vorgestellt, als ein Schritt zum Verständnis des viel komplizierteren Problems, eine
Kugelfläche regulär von außen nach innen zu stülpen. Die Idee dieser Kurven-Deformation ist, dass
zunächst genügend dicht liegende starre Teilstücke der Ausgangskurve (im Film "guides" genannt)
parallel an ihren Platz auf der Zielkurve verschoben werden; der Rest der Ausgangskurve besteht aus
elastischen Bändern, die der Bewegung ohne Knicken oder Reißen folgen können. Dann werden die
"guides", die Führungsschienen, in Richtung des Tangentenvektors der Zielkurve gedreht, was möglich
ist, weil die Tangentendrehzahlen gleich sind; man kann die Graphen der beiden Winkelfunktionen
ineinander deformieren, wie auf S. 31 erklärt. Die elastischen Teile folgen und lassen sich zum Schluss
straff ziehen. Es war die Aufgabe von Frau Seemiller, diese Deformation zu verstehen und mit dem
üblichen Beweis des Satzes von Whitney-Graustein zu vergleichen. Eine besondere Herausforderung lag
darin, dass die im Film gezeigte Deformation nicht in mathematischer Sprache vorlag.
Bachelor-Arbeiten
Simon Kapfer: „Die Nullhomotopie der 720-Grad-Drehung“
Betreuer: Prof. Dr. J.-H. Eschenburg
Die Gruppe SO(3) aller Drehungen um den Ursprung im dreidimensionalen euklidischen Raum ist nicht
einfach zusammenhängend; sie wird von der 3-dimensionalen Einheitssphäre der Quaternionenalgebra
zweiblättrig überlagert. Eine ebene Drehung um 360 Grad ist deshalb ein nicht-zusammenziehbarer Weg
in der Drehgruppe, aber die doppelte Drehung um 720 Grad ist zusammenziehbar, denn sie kann zu
einem Großkreis in der 3-Sphäre hochgehoben werden. Dieser mathematische Sachverhalt lässt sich durch
ein kleines Experiment verdeutlichen: Eine Streichholzschachtel, die man an 4 Ecken durch lange Bänder
mit einer Grundplatte verbunden hat, drehe man um 720 Grad, dann kann man die Verdrillung der vier
Bänder durch eine reine Translationsbewegung der Schachtel ohne erneute Drehung auflösen, indem man
sie unter den Bändern hindurchschiebt. Eng damit verbunden ist die Möglichkeit, ein volles Glas mit
einer Armbewegung um 720 Grad zu drehen, ohne den Inhalt zu verschütten oder sich den Arm zu
verdrehen. Die Aufgabe der vorliegenden Bachelorarbeit von Herrn Kapfer war es, das
Streichholzschachtel-Modell und dabei insbesondere die Rolle des Translationsanteils der Bewegung zu
verstehen.
Lisa Reischmann: „Penrose-Pflasterungen mit lokaler Zehneck-Symmetrie“
Betreuer: Prof. Dr. J.-H. Eschenburg
Durch Projektion eines Teils des n-dimensionalen ganzzahligen Gitters auf eine Ebene, die unter
zyklischer Permutation der n Koordinaten unverändert bleibt, erzeugt man dort ein aperiodisches
Fliesenmuster mit lokaler n-Eck-Symmetrie. Das bekannteste Beispiel ist das Penrose-Muster mit n=5. Die
Aufgabe von Frau Reischmann war die Untersuchung solcher Muster für n=10. Insbesondere hat sie
festgestellt, dass es ähnlich wie im Penrose-Fall das Phänomen der Inflation gibt: Das Muster besitzt eine
Verfeinerung durch ein anderes Muster gleicher Art.
Regina Blach: „Die Automorphismengruppe der Oktavenebene“
Betreuer: Prof. Dr. J.-H. Eschenburg
Während die einfachen endlichen Gruppen erst vor wenigen Jahrzehnten klassifiziert werden konnten,
geht die Klassifikation der einfachen Liegruppen bereits auf das 19. (Wilhelm Killing) und frühe 20.
Jahrhundert (Élie Cartan) zurück. Wie bei den endlichen Gruppen gibt es unendliche Serien und eine
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