Institut für Mathematik der Universität Augsburg - am Institut für ...

Knecht Thomas: Aufspannende Bäume mit vielen Blättern
Erstgutachter: Prof. Jungnickel, Zweitgutachter: Prof. Hachenberger
Aufspannende Bäume (für zusammenhängende Graphen G) gehören zu den grundlegenden Strukturen der
(algorithmischen) Graphentheorie; man kann sie sehr leicht und effektiv mit Breitensuche konstruieren. Sobald
man jedoch Nebenbedingungen hinzufügt, wird diese Aufgabe meist sehr schwer, und selbst harmlos klingende
Forderungen führen oft zu NP-vollständigen (also vermutlich nicht polynomial lösbaren) Problemen. Herr Knecht
hatte die Aufgabe, in seiner Bachelorarbeit eine derartige Situation darzustellen, nämlich die Bestimmung eines
aufspannenden Baumes von G mit möglichst vielen Blättern. Er sollte dazu einerseits die NP-Vollständigkeit
dieses Problems nachweisen und andererseits eine Arbeit von Kleitman und West aus dem Jahre 1991 ausarbeiten,
in der Schranken für die Anzahl λ(N,k) von Blättern angegeben werden, die man für jeden
zusammanhängenden Graphen mit N Punkten und Minimalgrad k mindestens garantieren kann.
Kovaleva Polina: Der Netzwerk Simplex Algorithmus: theoretische Grundlagen und Funktionsweise
Erstgutachter: Prof. Hachenberger, Zweitgutachter: Prof. Jungnickel
Der Netzwerk Simplex Algorithmus verbindet in gewisser Weise die lineare Optimierung mit der kombinatorischen
Optimierung. Das zugrundeliegende Problem ist das sog. ”Minimalkostenflussproblem“ (MCF), bei dem es darum
geht, einen kostenminimalen, bedarfdeckenden Gütertransport (bzw. optimalen Fluss) von Anbieter zu
Abnehmerknoten innerhalb eines Netzwerkes zu berechnen. Wie der (allgemeine) Simplex Algorithmus ist der
Netzwerk Simplex Algorithmus so konzipiert, dass sukzessive extremale zulässige Lösungen anhand einer
Nachbarschaft ausgetauscht werden, bis eine optimale Lösung vorliegt. Die durch Basen beschriebenen
zulässigen Extremallösungen können graphisch anhand aufspannender Bäume des zugrundeliegenden
Digraphen beschrieben werden; der Basiswechsel vollzieht sich durch den Austausch einer Baumkante mit dem
Ziel, den Zielfunktionswert zu verbessern.
Polina Kovaleva stellt die theoretischen Grundlagen und die Funktionsweise des Netzwerk Simplex Algorithmus
übersichtlich und von Grund auf dar. Sie geht dabei detailliert und anhand eines gut gewählten und schön
illustrierten Beispiels auf anfallende Teilprobleme ein.
Mai Christina: Probabilistische Austestung von Online-Algorithmen bei der Optimierung von Scheduling-Problemen
Erstgutachter: Prof. Borgwardt, Zweitgutachter: Prof. Jungnickel
Frau Mai beschäftigt sich mit Online-Scheduling. Scheduling-Probleme betreffen die Zuweisung von meist
unteilbaren Arbeitsaufträgen an Personen, Maschinen, Zeiträume. Dabei geht es jeweils darum, die optimalen
Reihenfolgen für diese Zuweisungen zu finden, welche beispielsweise die Zeitpunkte der Fertigstellungen (oder
der Fertigstellung des letzten Auftrags) minimieren. Soweit ist die Aufgabenstellung schon schwer genug. Aber
nun kommt als zusätzliche Komplikation der Online-Aspekt hinzu. Bei der jeweiligen Zuweisung eines
vorliegenden Arbeitsauftrages sind nämlich durchaus nicht alle weiteren Aufträge bekannt. Sondern diese treffen
erst nach und nach ein, sodass die Entscheidungen jetzt - auf der Basis unvollständiger Informationen - getroffen
werden müssen.
Frau Mai testet nun, wie die Qualität der getroffenen Gesamtentscheidungen vom Grad der jeweils vorliegenden
Information über zukünftige Aufträge abhängt. Dies ist der in der Online-Optimierung sogenannte
Informationsvorlauf.
Mors Andreas: Die Bestimmung maximaler Flüsse mit dem MKM-Algorithmus
Erstgutachter: Prof. Jungnickel, Zweitgutachter: Prof. Hachenberger
Die Berechnung maximaler Flüsse gehört zu den grundlegenden Problemen der Kombinatorischen Optimierung.
Nach der Entwicklung der grundlegenden Theorie und des bekannten Labelling-Algorithmus durch Ford und
Fulkerson im Jahre 1957 dauerte es noch etwa 15 Jahre, bis Edmonds und Karp sowie Dinic polynomiale Algorithmen
für dieses Problem angeben konnten. Alle diese Verfahren verwenden zunehmende Wege. Herr Mors
hatte die Aufgabe, in seiner Bachelorarbeit ein ganz anders geartetes Verfahren darzustellen und zu implementieren,
das zudem eine bessere und auch heute noch recht gute Komplexität – nämlich O(|V| 3 ) – besitzt: den 1978
von Malhotra, Kumar und Mahashwari entwickelten MKM-Algorithmus. Der MKM-Algorithmus hat mit dem von
Dinic die Grundstruktur gemeinsam, da beide Verfahren mit der sukzessiven Konstruktion blockierender Flüsse
auf geschichteten Hilfsnetzwerken arbeiten. Allerdings wird im MKM-Algorithmus ein solcher blockierender Fluss
nicht mehr mittels zunehmender Wege konstruiert. Die Idee dieses Algorithmus ist vielmehr, in jeder Iteration den
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