Institut für Mathematik der Universität Augsburg - am Institut für ...

(Diplomarbeit)
Erstgutachter: Ronald Hoppe
Optimale Kontrollprobleme für lineare elliptische Randwertprobleme zweiter Ordnung in beschränkten
d
Gebieten Ω ⊂ R mit punktweisen Beschränkungen an den Gradienten des Zustandes spielen in den Materialwissenschaften
eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit der Vermeidung großer Spannungen im Material.
Aus mathematischer Sicht stellen derartige Kontrollprobleme eine besondere Herausforderung dar, da
bei der Ankopplung der Gradientenschranken durch einen Lagrangeschen Multiplikator dieser nur über
eine geringe Regularität verfügt. Gewöhnlich werden die notwendigen Optimalitätsbedingungen bei zustandsbeschränkten
Kontrollproblemen unter der Annahme der Existenz eines sogenannten Slater-Punktes
hergeleitet, was die Stetigkeit des Zustandes voraussetzt. Bei Zustandsbeschränkungen an den Gradienten
ist somit die Stetigkeit der Ableitungen gefordert. Bezüglich der schwachen Formulierung der Zustandsglei-
2, r
r
chung erfordert dies die W ( Ω)
-Regularität der Lösung bei Kontrollen aus L (Ω)
mit r > d. Im Falle des
Vorliegens von nicht glatten Gebieten kann von einer derartigen Regularität des Zustandes nicht ausgegangen
werden.
Einen Ausweg aus diesem Dilemma bietet die Formulierung der Optimalitätsbedingungen unter Verwendung
des Normalenkegels der Restriktionsmenge im optimalen Zustand sowie das Studium des zur ursprünglichen
Optimierungsaufgabe schwach dualen Problems im Sinne der Fenchel Dualität. Während ersterer
Zugang keine strukturellen Informationen außer den Multiplikator liefert, können diese vermöge der
Betrachtung des schwach dualen Problems gewonnen werden. Der Zusammenhang zwischen primalem und
schwach dualem Problem kann auch im diskreten Regime nach erfolgter Finite Elemente Diskretisierung
ausgenutzt werden, um einen residualbasierten a posteriori Fehlerschätzer für den globalen
Diskretisierungsfehler bezüglich des Zustandes und der Kontrolle herzuleiten.
Die adaptive Finite Elemente Lösung optimaler Kontrollprobleme für lineare elliptische Randwertprobleme
zweiter Ordnung mit verteilten Kontrollen und punktweisen Zustandsbeschränkungen an den Gradienten
unter Verwendung der zuvor beschriebenen Techniken ist Gegenstand der von Herrn Fraunholz vorgelegten
Diplomarbeit.
Alexander Riess, „Modellierung und Simulation des dynamischen Verhaltens einer Grossdieselmotor-Kurbelwelle
mittels Mehrkörpersimulation mit flexiblen Körpern
(Diplomarbeit)
Erstgutachter: Ronald Hoppe
Die optimale Auslegung technischer Systeme auf der Grundlage geeigneter mathematischer Modelle zur
Beschreibung des dynamischen Verhaltens sowie adäquater numerischer Simulationswerkzeuge stellt insbesondere
dann eine signifikante Herausforderung dar, wenn es sich um ein aus mehreren Bauteilen von komplizierter
geometrischer Struktur und von unterschiedlicher Funktionalität zusammengesetztes System handelt.
Das optimale Design bezüglich problemspezifischer Zielfunktionale erfordert die Lösung der notwendigen
Optimalitätsbedingungen und führt nach entsprechender Diskretisierung typischerweise auf sehr
grosse nichtlineare Programmierungsaufgaben. Deren numerische Lösung ist durch einen beträchtlichen
Rechenaufwand sowohl hinsichtlich des Speicherplatzbedarfs als auch bezüglich der Rechenzeit gekennzeichnet,
wobei oftmals die Grenzen der zur Verfügung stehenden Rechenkapazitäten erreicht bzw. überschritten
werden. Daher wird die Optimierung derart komplexer Systeme vielfach auf der Basis reduzierter
Modelle durchgeführt, welche das dynamische Verhalten des Systems hinreichend gut widerspiegeln. Solche
auf der Grundlage von Messergebnissen und/oder numerischer Simulationen realisierten Modellreduktionen
erlauben eine beträchtliche Verringerung der das System beschreibenden Freiheitsgrade und führen
somit auf Optimierungsprobleme signifikant niedrigerer Dimensionalität, deren numerische Lösung mit
einem vertretbaren Rechenaufwand realisiert werden kann.
Die vorliegende, in Zusammenarbeit mit der Firma MAN Diesel SE in Augsburg angefertigte Diplomarbeit
von Herrn cand. math. Alexander Riess hat die optimale Auslegung der Kurbelwelle eines Viertakt Grossdieselmotors
vom Typ 20V32/44CR unter Verwendung von Modellreduktionen in Gestalt mechanischer
Mehrkörpersysteme zum Inhalt, wobei das multiobjektive Zielfunktional aus der gewichteten Summe der
Abweichungen berechneter Daten von Referenzdaten systemrelevanter Kenngrößen besteht.
Petya Petkova, „Numerische Lösung von europäischen Double Barrier Basket Optionen“
(Master-Arbeit)
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