Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Zusammenhang zwischen Turingmaschinen und Grammatiken
Man sieht nun leicht, dass für alle w ∈ Σ ∗ gilt:
w ∈ L(G) gdw. A akzeptiert w.
Für Typ-0-Sprachen gelten die folgenden Abschlusseigenschaften:
Satz 12.2
1) L 0 ist abgeschlossen unter ∪,·, ∗ und ∩.
2) L 0 ist nicht abgeschlossen unter Komplement.
Beweis.
1) Für die regulären Operationen ∪,·, ∗ zeigt man dies im Prinzip wie für L 2 durch
Konstruktion einer entsprechenden Grammatik.
Damit sich die Produktionen der verschiedenen Grammatiken nicht gegenseitig
beeinflussen, genügt es allerdings nicht mehr, nur die Nichtterminalsymbole der
Grammatiken disjunkt zu machen.
Zusätzlich muss man die Grammatiken in die folgende Form bringen:
Die Produktionen sind von der Form
u −→ v
X a −→ a
mit u ∈ N + i und v ∈ Ni
∗
mit X a ∈ N i und a ∈ Σ
Für den Schnitt verwendet man Turingmaschinen:
Die NTM fürL 1 ∩L 2 verwendet zwei Bänder und simuliert zunächst auf dem ersten
die Berechnung der NTM für L 1 und dann auf dem anderen die der NTM für L 2 .
Wenn beide zu akzeptierenden Stoppkonfigurationen der jeweiligen Turingmaschinen
führen, so geht die NTM für L 1 ∩L 2 in eine akzeptierende Stoppkonfiguration.
Beachte:
Es kann sein, dass die NTM für L 1 auf einer Eingabe w nicht terminiert, die
NTM für L 1 ∩L 2 also gar nicht dazu kommt, die Berechnung der NTM für L 2 zu
simulieren. Aber dann ist ja w auch nicht in L 1 ∩L 2 .
2) Wir werden später sehen, dass Turing-erkennbaren Sprachen nicht unter Komplement
abgeschlossen sind (Satz 16.10).
Wir werden später außerdem zeigen, dass für Turing-erkennbaren Sprachen (und damit
für L 0 ) alle bisher betrachteten Entscheidungsprobleme unentscheidbar sind (Sätze 16.6,
16.8, 16.9). Die Begriffe “entscheidbar” und “unentscheidbar” werden wir in Kürze formal
definieren. Intuitiv bedeutet Unentscheidbarkeit, dass es keinen Algorithmus gibt, der
das Problem löst.
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