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Laufzeitanalyse von Algorithmen und O-Notation
Definition A.1 (O-Notation)
Seien f und g Funktionen von Æ nach Æ. Wir schreiben
f ∈ O(g)
wenn es eine Konstante c > 0 und Schranke n 0 ≥ 0 gibt, so dass f(n) ≤ c·g(n) für alle
n > n 0 .
Mit anderen Worten bedeutet f ∈ O(g), dass f „schließlich nicht wesentlich schneller
wächst“ als g. Die folgende Graphik illustriert dies anhand zweier Funktionen f(n) und
g(n) mit f ∈ O(g):
Wie in Definition A.1 gefordert, liegt f schliesslich (d.h. ab der Schranke n 0 ) unterhalb
der mit der Konstanten c skalierten Funktion c·g(n). Auch wenn der absolute Wert von
f(n) an vielen Stellen größer ist als der von g(n), wächst f also nicht wesentlich schneller
als g.
Wir verwenden die Laufzeitbeschreibung O(f(n)), wenn wir ausdrücken wollen, dass die
Laufzeit f(n) ist, bis auf Konstanten (repräsentiert durch c) und endlich viele Ausnahmen
(repräsentiert durch n 0 ). Insbesondere beschreibt
• O(n) Linearzeit;
• O(n 2 ) quadratische Zeit und
• ⋃ i≥1 ni polynomielle Zeit.
Es existieren verscheidene Rechenregeln für die O-Notation wie zum Beispiel
• O(O(f)) = O(f);
• O(f)+O(g) = O(f +g) und
• O(f)·O(g) = O(f ·g).
Mehr Informationen zur O-Notation finden sich beispielsweise im Buch „Concrete Mathematics“
von Graham, Knuth und Patashnik.
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