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Entscheidbarkeit, Semi-Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit
15. Entscheidbarkeit, Semi-Entscheidbarkeit,
Aufzählbarkeit
Wir wechseln nun von den Funktionen und dem mit Ihnen verknüpften Berechenbarkeitsbegriff
zu Entscheidungsproblemen und den damit assoziierten Begriffen Entscheidbarkeit,
Semi-Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit. In diesem Kapitel führen wir diese
Begriffe formal ein und lernen dann einige grundlegende Zusammenhänge zwischen ihnenkennen.
Wir verwenden hier wieder Turing-Maschinen als zugrundeliegendes Berechnungsmodell,
begründet durch die Church-Turing-These und die in den vorhergehenden
Abschnitten dargestellte Äquivalenz zu anderen konkreten Berechnungsmodellen.
In der Informatik erfordern viele Probleme nur eine ja/nein Antwort anstelle eines “echten”
Funktionswertes, z.B.:
• Das Leerheitsproblem für NEAs: gegeben ein NEA A, ist L(A) = ∅?
• Das Wortproblem für kontextfreie Grammatiken: gegeben eine kontextfreie Grammatik
G und ein Wort, ist w ∈ L(G)?
• Das Äquivalenzproblem für kontextsensitive Grammatiken: gegeben kontextsensitive
Grammatiken G 1 und G 2 , gilt L(G 1 ) = L(G 2 )?
• etc
Derartige Probleme nennen wir Entscheidungsprobleme. Wir formalisieren sie nicht als
Funktionen, sondern als formale Menge von Wörtern über einem geeigneten Alphabet
Σ, also als formale Sprache L ⊆ Σ ∗ . Das assoziierte ja/nein-Problem ist dann einfach:
ist ein gegebenes Wort w ∈ Σ ∗ enthalten in L?
Als Beispiel für die Formalisierung eines Entscheidungsproblems als formale Sprache
betrachten wir das Äquivalenzproblem für kontextsensitive Sprachen. Jede Grammatik
G = (N,Γ,P,S) kann als Wort code(G) ∈ Γ ∗ über einem festen (d.h. nicht von G
abhängigen) Alphabet Σ aufgefasst werden. Das Äquivalenzproblen für Typ 1-Sprachen
ist dann die Sprache
{(code(G 1 )#code(G 2 )) | G 1 ,G 2 kontextsensitiv,L(G 1 ) = L(G 2 )} ⊆ Σ ∗ ,
wobei # einfach ein Trennsymbol ist, dass es erlaubt, die beiden Eingaben zu unterscheiden.
Definition 15.1 (entscheidbar, semi-entscheidbar, rekursiv aufzählbar)
Eine Sprache L ⊆ Σ ∗ heißt
1) entscheidbar, falls es eine DTM gibt, die bei Eingabe w ∈ Σ ∗
• in akzeptierender Stoppkonfiguration anhält wenn w ∈ L
• in nicht-akzeptierender Stoppkonfiguration anhält wenn w /∈ L
Wenn er keine solte DTM gibt, hießt L unentscheidbar.
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