Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Universelle Maschinen und unentscheidbare Probleme
• L ist Turing-erkennbar und damit aus L 0 . In der Tat ist L sogar entscheidbar: bei
Eingabe w kann eine DTM
– durch Aufzählen der w 0 ,w 1 ,... den Index i mit w = w i bestimmen
– durch Aufzählen der G 0 ,G 1 ,... dann auch die Grammatik G i konstruieren
– dann das Wortproblem für w i ∈ L(G i ) für Typ 1-Sprachen entscheiden (siehe
Satz 12.7)
• L ist nicht kontextsensitiv. Anderenfalls gäbe es einen Index k mit L = L(G k ).
Nun ist aber
Widerspruch.
w k ∈ L(G k ) gdw. w k ∈ L (denn L(G k ) = L)
gdw. w k /∈ L(G k ) (nach Def. L)
Aus der Unentscheidbarkeit von UNIV kann man weitere wichtige Unentscheidbarkeitsresultate
herleiten. UNIV ist offensichtlich nichts anderes als das Wortproblem für
DTMs, kodiert als Turingmaschine. Es folgt daher sofort das folgende Theorem.
Satz 16.6
Das Wortproblem für DTM ist unentscheidbar, d.h. es gibt kein Berechnungsverfahren,
das zu jeder gegebenen DTM A und jedem Eingabewort w entscheidet, ob A das Wort
w akzeptiert.
Eine Variante ist das Wortproblem für Typ 0-Grammatiken, d.h. die Frage, ob für eine
gegebene Typ 0-Grammatik G und ein gegebenes Wort w gilt, dass w ∈ L(G). Wäre
diese Variante entscheidbar, so wäre auch das Wortproblem für DTMs entscheidbar, was
ja nach Satz 16.6 nicht der Fall ist: gegeben eine DTM A und ein Eingabewort w könnte
man zunächst A in eine äquivalente Typ 0-Grammatik G wandeln (wie im Beweis von
Satz 12.1; man beachte, dass die Konstruktion dort mit einer TM implementierbar ist)
und dann entscheiden, ob w ∈ L(G). Auch das Wortproblem für Typ 0-Grammatiken
ist also unentscheidbar.
Satz 16.7
Das Halteproblem für DTM ist unentscheidbar, d.h. es gibt kein Berechnungsverfahren,
das zu jeder gegebenen DTM A entscheidet, ob A beginnend mit leerem Eingabeband
terminiert.
Beweis. Wir zeigen: wäre das Halteproblem entscheidbar, so auch das Wortproblem. Das
ist aber nicht der Fall.
Um von einer gegebenen DTM A und einem gegebenem Wort w zu entscheiden, ob
w ∈ L(A), könnte man dann nämlich wie folgt vorgehen:
129