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Turingmaschinen Bemerkung 11.5. 1) War A deterministisch, so liefert obige Konstruktion auch eine deterministische 1-Band-Turingmaschine. 2) Diese Konstruktion kann auch verwendet werden, wenn man sich für die berechnete Funktion interessiert. Dazu muss man am Schluss (wenn A in Stoppkonfiguration ist) in der Maschine A ′ noch die Ausgabe geeignet aufbereiten. Wegen Satz 11.4 und Bemerkung 11.5 können wir von nun an ohne Beschränkung der Allgemeinheit bei der Konstruktion von Turingmaschinen eine beliebige (aber feste) Zahl von Bändern verwenden. Bei der Definition von Turing-berechenbar haben wir uns von vornherein auf deterministische Turingmaschinen beschränkt. Der folgende Satz zeigt, dass man dies auch bei Turing-erkennbaren Sprachen machen kann, ohne an Ausdrucksstärke zu verlieren. Satz 11.6 Zu jeder NTM gibt es eine DTM, die dieselbe Sprache erkennt. Beweis. Es sei A = (Q,Σ,Γ,q 0 ,∆,F) eine NTM. Wegen Satz 11.4 und Bemerkung 11.5 genügt es, eine deterministische 3-Band-Turingmaschine A ′ zu konstruieren, so dass L(A) = L(A ′ ). Die Maschine A ′ soll für wachsendes n auf dem dritten Band jeweils alle Berechnungen k 0 ⊢ A k 1 ⊢ A k 2 ⊢ A ... ⊢ A k n beginnend mit der Startkonfiguration k 0 = q 0 w erzeugen, also erst alle solchen Berechnungen der Länge 1, dann alle der Länge 2, usw. Die Kontrolle, dass tatsächlich alle solchen Folgen erzeugt werden, wird auf dem zweiten Band vorgenommen. Das erste Band speichert das Eingabewort w damit man stets weiß, was k 0 sein muss. Genauer: Es sei r = maximale Anzahl von Transitionen in ∆ pro festem Paar (q,a) ∈ Q×Γ Dies entspricht dem maximalen Verzweigungsgrad der nichtdeterministischen Berechnung und kann direkt aus ∆ abgelesen werden. Eine Indexfolge i 1 ,...,i n mit i j ∈ {1,...,r} beschreibt dann von k 0 aus für n Schritte die Auswahl der jeweiligen Transition, und somit von k 0 aus eine feste Berechnung k 0 ⊢ A k 1 ⊢ A ... ⊢ A k n (Wenn es in einer Konfiguration k j weniger als i j mögliche Nachfolgerkonfigurationen gibt, dann beschreibt i 1 ,...,i n keine Berechnung und wird einfach übersprungen.) Zählt man alle endlichen Wörter über {1,...,r} auf und erzeugt zu jedem Wort i 1 ...i n die zugehörige Berechnung, so erhält man eine Aufzählung aller endlichen Berechnungen. A ′ realisiert dies auf den drei Bändern wie folgt: 98
Turingmaschinen • Auf Band 1 bleibt die Eingabe gespeichert. • Auf dem zweiten Band werden sukzessive alle Wörter i 1 ...i n ∈ {1,...,r} ∗ erzeugt (z.B. durch normales Zählen zur Basis r). • Für jedes dieser Wörter wird auf dem dritten Band die zugehörige Berechnung erzeugt (wenn sie existiert). Erreicht man hierbei eine akzeptierende Stoppkonfiguration von A, so geht auch A ′ in eine akzeptierende Stoppkonfiguration. 99
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