Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Abschlusseigenschaften und Entscheidungsprobleme
ε
F 1
q 01
F 2
q 0
ε
q 02
Mit Lemma 1.18 gibt es zu A einen äquivalenten NEA.
2) Abschluss unter Komplement:
Einen DEA für L 1 erhält man wie folgt:
Zunächst verwendet man die Potenzmengenkonstruktion, um zu A 1 einen äquivalenten
DEA A = (Q,Σ,q 0 ,δ,F) zu konstruieren. Den DEA für L 1 erhält man nun
durch Vertauschen der Endzustände mit den Nicht-Endzuständen:
Es gilt nämlich:
w ∈ L 1 gdw. w /∈ L(A 1 )
gdw. w /∈ L(A)
gdw. δ(q 0 ,w) /∈ F
gdw. δ(q 0 ,w) ∈ Q\F
gdw. w ∈ L(A)
A := (Q,Σ,q 0 ,δ,Q\F).
Beachte: Diese Konstruktion funktioniert nicht für NEAs.
3) Abschluss unter Schnitt:
Wegen L 1 ∩L 2 = L 1 ∪L 2 folgt 3) aus 1) und 2).
Da die Potenzmengenkonstruktion, die wir für L 1 und L 2 benötigen, recht aufwendig
ist und exponentiell große Automaten liefert, kann es günstiger sein, direkt
einen NEA für L 1 ∩L 2 zu konstruieren, den sogenannten Produktautomaten:
mit
A := (Q 1 ×Q 2 ,Σ,(q 01 ,q 02 ),∆,F 1 ×F 2 )
∆ := {((q 1 ,q 2 ),a,(q ′ 1,q ′ 2)) | (q 1 ,a,q ′ 1) ∈ ∆ 1 und (q 2 ,a,q ′ 2) ∈ ∆ 2 }
Ein Übergang in A ist also genau dann möglich, wenn der entsprechende Übergang
in A 1 und A 2 möglich ist.
Behauptung. L(A) = L 1 ∩L 2 .
Sei w = a 1···a n . Dann ist w ∈ L(A) gdw. es gibt einen Pfad
(q 1,0 ,q 2,0 ) a 1
−→ A (q 1,1 ,q 2,1 )···(q 1,n−1 ,q 2,n−1 ) −→ an
A (q 1,n ,q 2,n )
mit (q 1,0 ,q 2,0 ) = (q 01 ,q 02 ) und (q 1,n ,q 2,n ) ∈ F 1 ×F 2 . Nach Konstruktion von A ist
das der Fall gdw. für jedes i ∈ {1,2}
q i,0
a 1
−→Ai q i,1···q i,n−1
a n
−→Ai q i,n
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