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Minimale DEAs und die Nerode-Rechtskongruenz
5. Minimale DEAs und die Nerode-Rechtskongruenz
Wir werden im Folgenden ein Verfahren angeben, welches zu einem gegebenen DEA einen
äquivalenten DEA mit minimaler Zustandszahl konstruiert. Das Verfahren besteht aus
2 Schritten:
1. Schritt: Eliminieren unerreichbarer Zustände
Definition 5.1 (Erreichbarkeit eines Zustandes)
Ein Zustand q des DEA A = (Q,Σ,q 0 ,δ,F) heißt erreichbar, falls es ein Wort w ∈ Σ ∗
gibt mit δ(q 0 ,w) = q. Sonst heißt q unerreichbar.
Da für die erkannte Sprache nur Zustände wichtig sind, welche von q 0 erreicht werden,
erhält man durch Weglassen unerreichbarer Zustände einen äquivalenten Automaten:
A 0 = (Q 0 ,Σ,q 0 ,δ 0 ,F 0 ) mit
• Q 0 = {q ∈ Q | q ist erreichbar}
• δ 0 = δ | Q0 ×Σ (also: δ 0 ist wie δ, aber eingeschränkt auf die Zustände in Q 0 )
• F 0 = F ∩Q 0
Beispiel.
Betrachte als Resultat der Potenzmengenkonstruktion den AutomatenA ′ aus Beispiel 1.13:
Die Zustände {2} und ∅ sind nicht erreichbar. Durch Weglassen dieser Zustände erhält
man den DEA A ′ 0:
2. Schritt: Zusammenfassen äquivalenter Zustände
Ein DEA ohne unerreichbare Zustände muss noch nicht minimal sein, da er noch verschiedene
Zustände enthalten kann, die sich „gleich“ verhalten in Bezug auf die erkannte
Sprache.
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