Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Weitere unentscheidbare Probleme
z.B. (q,a,a ′ ,r,q ′ ) ∈ ∆ und k 0 = ̸ bqab̸ b
#|a|qa|b|b|#
# a qa b b #|a|a ′ ,q ′ |b|b|#
Man erhält so:
#k 0 #
#k 0 #k 1 #
• Nun macht man dies so weiter, bis die Stoppkonfiguration k t mit Stoppzustand
ˆq erreicht ist. Durch Verwenden von Löschregeln und Kopierregeln löscht man
nacheinander die dem Stoppzustand benachbarten Symbole von k t , z.B.:
...#aˆq|b|#|ˆqb|#
...#aˆqb #|ˆq|b|#|ˆq|#
• Danach wendet man die Abschlussregel an:
...#|ˆq# #
...# ˆq#|#
Umgekehrt zeigt man leicht, dass jede Lösung des MPKP einer haltenden Folge von
Konfigurationsübergängen entspricht, welche mit k 0 beginnt:
• Man muss mit k 0 beginnen, da wir das MPKP betrachten.
• Durch Kopier- und Übergangsregeln kann man die erzeugten Wörter offensichtlich
nicht gleich lang machen.
• Daher muss ein Stoppzustand erreicht werden, damit Lösch- und Abschlussregeln
eingesetzt werden können.
Da das Halteproblem unentscheidbar ist, folgt die Unentscheidbarkeit des MPKP und
damit (wegen Lemma 17.2) die Unentscheidbarkeit des PKP.
Satz 17.4
Das PKP ist unentscheidbar.
Wir verwenden dieses Resultat, um Unentscheidbarkeit von Problemen für kontextfreie
und kontextsensitive Sprachen nachzuweisen. Wir zeigen zunächst:
Lemma 17.5
Das Schnitt-Leerheitsproblem für kontextfreie Grammatiken ist unentscheidbar, d.h. gegeben
zwei kontextfreie Grammatiken G 1 ,G 2 ist nicht entscheidbar, ob gilt:
L(G 1 )∩L(G 2 ) = ∅.
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