Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

V. Appendix
A. Laufzeitanalyse von Algorithmen und O-Notation
Laufzeitanalyse
Ein gegebenes Berechnungsproblem lässt sich meist durch viele verschiedene Algorithmen
lösen. Um die „Qualität“ dieser vielen möglichen Algorithmen zu bestimmen, analysiert
man deren Ressourcenverbrauch. In diesem Zusammenhang ist die wichtigste
Ressource der Zeitverbrauch, also die Anzahl Rechenschritte, die der Algorithmus ausführt.
Andere Ressourcen, die eine Rolle spielen können, sind beispielsweise der Speicherverbrauch
oder der Kommunikationsbedarf, wenn der Algorithmus auf mehreren
Prozessoren oder Rechnern verteilt ausgeführt wird. Ein Algorithmus mit geringem Ressourcenbedarf
ist dann einem Algorithmus mit höherem Ressourcenbedarf vorzuziehen.
Die Laufzeit eines AlgorithmusAauf einer Eingabexist die Anzahl elementarer Rechenschritte,
die A gestartet auf x ausführt, bevor er anhält. Was ein elementarer Rechenschritt
ist, wird in der VL „Theoretische Informatik II“ genauer untersucht. Bis dahin
betrachten wir die üblichen Operationen eines Prozessors als elementare Rechenschritte,
also z.B. Addition und Multiplikation. Die zentrale Eigenschaft eines elementaren
Rechenschrittes ist, dass er in konstanter Zeit ausgeführt werden kann—das soll heißen,
dass die benötigte Zeit unabhängig von den konkreten Argumenten ist, auf die der
Rechenschritt angewendet wird.
Man beschreibt die Laufzeit eines Algorithmus immer in Abhängigkeit von der Größe
seiner Eingabe. Dem liegt die Intuition zugrunde, dass das Verarbeiten einer grösseren
Eingabe im allgemeinen länger dauert als das einer kleinen. So kann man z.B. offensichtlich
schneller entscheiden, ob ein gegebener NEA ein Eingabewort der Länge 1 akzeptiert
als eines der Länge 128. Der Zeitverbrauch eines Algorithmus kann also beschrieben werden
durch eine Funktion
f : Æ → Æ
die jeder Eingabelänge n ∈ Æ eine Laufzeit f(n) zuordnet. Man beachte, dass diese
Darstellung von der konkreten Eingabe abstrahiert, d.h., die Laufzeit des Algorithmus auf
verschiedenen Eingaben derselben Länge wird nicht unterschieden. Diese kann durchaus
sehr unterschiedlich sein: für einen gebenen NEA A, in dem der Startzustand keine
a-Übergang erlaubt, ist es trivial, zu entscheiden, dass das Wort
abbbababababbbbbbbbababbabbabbbbbbbaaabbbbaaaaaab
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