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Aussagenlogik
Definition B.6 (Erfüllbarkeit, Gültigkeit)
Eine Formel ϕ heisst
• erfüllbar wenn es eine Belegung B gibt, die ϕ erfüllt;
• gültig wenn ϕ von jeder Belegung B erfüllt wird.
Beispiele für unerfüllbare Formeln sind
x∧¬x x∧¬y ∧(x → y) (x∨y)∧(¬x∨¬y)∧(¬x∨y)∧(x∨¬y)
Beispiel für gültige Formeln sind
x∨¬x (x∧y) ↔ ¬(¬x∨¬y) (x∧y)∨(¬x∧¬y)∨(¬x∧y)∨(x∧¬y)
Erfüllbarkeit und Gültigkeit sind in folgendem Sinn dual zueinander.
Lemma B.7
Für jede Formel ϕ gilt:
1. ϕ ist erfüllbar gdw. ¬ϕ nicht gültig ist;
2. ϕ ist gültig gdw. ¬ϕ unerfüllbar ist.
Beweis. Zu Punkt 1:
ϕ ist erfüllbar
gdw. eine Belegung B existiert, die ϕ erfüllt
gdw. eine Belegung B existiert, die ¬ϕ nicht erfüllt
gdw. ¬ϕ nicht gültig.
Punkt 2 zeigt man auf ähnliche Weise. Es wird empfohlen, die Details zur Übung auszuarbeiten.
Das folgende Bild stellt die verschiedenen Arten von Formeln anschaulich dar:
Die angekündigten Entscheidungsprobleme sind nun wie folgt.
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