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Zusammenhang zwischen Turingmaschinen und Grammatiken
Satz 12.3
Für L 0 sind das Leerheitsproblem, das Wortproblem und das Äquivalenzproblem unentscheidbar.
Von den Sprachklassen aus der Chomsky-Hierarchie sind nun alle bis auf L 1 (kontextsensitiv)
durch geeignete Automaten/Maschinenmodelle charakterisiert. Nach Definition
enthalten kontextsensitive Grammatiken nur Regeln, die nicht verkürzend sind, also Regeln
u −→ v mit |v| ≥ |u|. Wenn man ein Terminalwort w mit einer solchen Grammatik
ableitet, so wird die Ableitung also niemals ein Wort enthalten, dessen Länge größer als
|w| ist.
Diese Beobachtung legt folgende Modifikation von Turingmaschinen nahe: die Maschinen
dürfen nicht mehr als |w| Zellen des Arbeitsbandes verwenden, also nur auf dem
Bandabschnitt arbeiten, auf dem anfangs die Eingabe steht. Um ein Überschreiten der
dadurch gegebenen Bandgrenzen zu verhindern, verwendet man Randmarker ̸c, $.
Definition 12.4 (linear beschränkter Automat)
Ein linear beschränkter Automat (LBA) ist eine NTM A = (Q,Σ,Γ,q 0 ,∆,F), so dass
• $,̸c ∈ Γ\Σ
• Übergänge (q,̸c,...) sind nur in der Form (q,̸c,̸c,r,q ′ ) erlaubt (linker Rand darf
nicht überschritten werden).
• Übergänge (q,$,...) sind nur in der Form (q,$,$,l,q ′ ) erlaubt.
• ̸c und $ dürfen nicht geschrieben werden.
Ein gegebener LBA A erkennt die Sprache
L(A) := {w ∈ Σ ∗ | ̸cq 0 w$ ⊢ ∗ k, wobei k akzeptierende Stoppkonfiguration ist}.
Offensichtlich muß auch ein LBA nicht unbedingt terminieren. Wie bei Turingmaschinen
gilt nach der obigen Definition: terminiert ein LBA A auf einer gegebenen Eingabe w
nicht, so ist w /∈ L(A).
Korollar 12.5
Eine Sprache L gehört zu L 1
gdw. sie von einem LBA erkannt wird.
Beweis.
„⇒“: Verwende die Konstruktion aus dem Beweis von Satz 12.1.
Da alle Produktionen von kontextsensitiven Grammatiken nichtkürzend sind (mit
Ausnahme S −→ ε), muss man auf dem zweiten Band nur ableitbare Wörter bis
zur Länge |w| erzeugen (aus längeren kann nie mehr w abgeleitet werden). Daher
kommt man mit |w| vielen Feldern aus.
Beachte:
Zwei Bänder liefern nicht ein doppelt so langes Band, sondern ein größeres Arbeitsalphabet,
vergleiche Beweis von Satz 11.4.
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