Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Universelle Maschinen und unentscheidbare Probleme
Lemma 16.12
1) L 1 ≤ L 2 und L 2 entscheidbar ⇒ L 1 entscheidbar.
2) L 1 ≤ L 2 und L 1 unentscheidbar ⇒ L 2 unentscheidbar.
Beweis.
1) Um „w ∈ L 1 “ zu entscheiden,
• berechnet man f(w) und
• entscheidet „f(w) ∈ L 2 “.
2) Folgt unmittelbar aus 1).
Wir werden im Folgenden noch einige Beispiele für Reduktionen sehen. Zunächst zeigen
wir mit Hilfe einer Reduktion des Halteproblems folgendes sehr starke Resultat:
Jede nichttriviale semantische Eigenschaft von Programmen (DTM) ist unentscheidbar.
• Semantisch heißt hier: Die Eigenschaft hängt nicht von der syntaktischen Form
des Programms (der DTM), sondern nur von der erkannten Sprache ab.
• Nichttrivial: Es gibt Turing-erkennbare Sprachen, die die Eigenschaft erfüllen, aber
nicht alle Turing-erkennbaren Sprachen erfüllen sie.
Zum Beispiel ist das Anhalten auf dem leeren Wort eine semantische und nichttriviale
Eigenschaft. Also ist die Unentscheidbarkeit des Halteproblems eine konkrete Instanz des
hier bewiesenen, sehr allgemeinen Resultates. Da nach der Church-Turing-These DTMs
äquivalent zu jedem anderen Berechnungsmodell sind, kann man diese Aussage intuitiv
so verstehen, dass alle interessanten Eigenschaften, die das Verhalten von Programmen
betreffen, unentscheidbar sind. Man kann beispielsweise kein Programm schreiben, das
ein Programm als Eingabe erhält und entscheidet, ob dieses terminiert oder sich in einer
Endlosschleife verfängt. Dies hat weitreichende Konsequenzen im Gebiet der Programmverifikation,
wo man Programme automatisch auf ihre Korrektheit prüfen möchte.
Ein Beispiel für eine nicht semantische Eigenschaft ist zum Beispiel: die DTM macht
auf dem leeren Wort mehr als 100 Schritte.
Wir setzen im Folgenden semantische Eigenschaften von DTMs mit Eigenschaften der
von ihnen erkannten Sprachen gleich: eine Eigenschaft Turing-erkennbarer Sprachen ist
eine Menge
E ⊆ {L ⊆ Σ ∗ | L ist Turing-erkennbar}.
Es folgt das angekündigte Resultat.
Satz 16.13 (Satz von Rice)
Es sei E eine Eigenschaft Turing-erkennbarer Sprachen, so dass gilt:
∅ E {L ⊆ Σ ∗ | L ist Turing-erkennbar}.
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