Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Kellerautomaten
Definition 10.7
Sei G eine kontextfreie Grammatik. Eine Ableitung S = w 0 ⊢ G w 1 ⊢ G w 2 ⊢ G ··· ⊢ G w n
heisst Linksableitung wenn sichw i+1 ausw i durch Anwendung einer Regel auf das linkeststehende
Nichtterminal in w i ergibt, für alle i < n.
Das folgende Lemma zeigt, dass sich die von einer kontextfreien Grammatik erzeugte
Sprache nicht verändert, wenn man statt beliebigen Ableitungen nur noch Linksableitungen
zuläßt.
Lemma 10.8
Für jede kontextfreie Grammatik G gilt: L(G) = {w ∈ Σ ∗ | w kann in G mit Linksableitung
erzeugt werden.
Zum Beweis von Lemma 10.8 genügt es, zu zeigen, dass jedes w ∈ L(G) mittels einer
Linksableitung erzeugt werden kann. Wir argumentieren nur informell: wenn w ∈ L(G),
dann gibt es eine Ableitung von w in G. Diese kann als Ableitungsbaum dargestellt
werden. Aus dem Ableitungsbaum lässt sich nun wiederrum eine Linksableitung von w
ablesen (zum Beispiel durch Traversieren des Baumes in Pre-Order).
Satz 10.9
Für jede formale Sprache L sind äquivalent:
1) L with von einer kontextfreien Grammatik erzeugt.
2) L wird von einem PDA erkannt.
Beweis.
„1 −→ 2“.
Es sei G = (N,Σ,P,S) eine kontextfreie Grammatik. Der zugehörige PDA simuliert
Linksableitungen von G auf dem Keller.
Genauer gesagt definieren wir A = (Q,Σ,Γ,q 0 ,Z 0 ,∆) wobei Q = {q}, Γ = Σ ∪ N,
q 0 = q, Z 0 = S und ∆ aus folgenden Übergängen besteht:
• Übergänge zum Anwenden von Produktionen auf das oberste Kellersymbol:
für jede Regel A → γ den Übergang (q,ε,A,γ,q);
• Übergänge zum Entfernen bereits erzeugter Terminalsymbole von der Kellerspitze,
wenn sie in der Eingabe vorhanden sind:
Beispiel:
für jedes Terminalsymbol a ∈ Σ den Übergang (q,a,a,ε,q).
P = {S −→ ε, S −→ aSa, S −→ bSb} liefert die Übergänge:
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