NP-vollständige Probleme Frage: Gibt es eine Auswahl von n Mengen, die ganz M überdecken, d.h. Satz 19.11 Mengenüberdeckung ist NP-vollständig. Beweis. 1) Mengenüberdeckung ist in NP: {i 1 ,...,i n } ⊆ {1,...,k} mit T i1 ∪...∪T in = M. • Wähle nichtdeterministisch Indices i 1 ,...,i n und • überprüfe, ob T i1 ∪...∪T in = M gilt. 2) Um NP-Härte zu zeigen, reduzieren wir 3SAT in Polyzeit auf Mengenüberdeckung. Sei also ϕ = K 1 ∧...∧K m eine 3-Formel, die die Variablen x 1 ,...,x n enthält. Wir definieren M := {K 1 ,...,K m ,x 1 ,...,x n }. Für jedes i ∈ {1,...,n} sei T i := {K j | x i kommt in K j als Disjunkt vor}∪{x i } T ′ i := {K j | ¬x i kommt in K j als Disjunkt vor}∪{x i } Wir betrachten das Mengensystem: T 1 ,...,T n ,T ′ 1,...,T ′ n, Zu zeigen: ϕ ist erfüllbar gdw. es eine Mengenüberdeckung von M mit n Mengen gibt. “⇒” Sei ϕ erfüllbar mit Belegung B. Wähle • T i , falls B(x i ) = 1 • T ′ i, falls B(x i ) = 0 Dies liefert n Mengen, in denen jedes Element von M vorkommt: • K 1 ,...,K n da B jede K i erfüllt. • x 1 ,...,x n da für jedes i entweder T i oder T ′ i gewählt wird. “⇐” Sei umgekehrt {U 1 ,...,U n } ⊆ {T 1 ,...,T n ,T ′ 1,...,T ′ n} mit U 1 ∪...∪U n = M. Da jede Variable x i in U 1 ∪...∪U n ist, kommt T i oder T ′ i in {U 1 ,...,U n } vor. Da wir nur n verschiedene Mengen haben, kommt sogar jeweils genau eines von beiden vor. Definiere Belegung B wie folgt: { 1 falls Ti ∈ {U B(x i ) = 1 ,...,U n } 0 falls T i ′ ∈ {U 1 ,...,U n } B erfüllt jede Klausel K j da K j in U 1 ∪...∪U n vorkommt. 156
NP-vollständige Probleme Übung: Betrachte die 3-Formel ϕ = (x 1 ∨¬x 2 ∨x 3 )∧(x 4 ∨¬x 1 ∨x 2 )∧(¬x 3 ∨¬x 1 ∨x 4 ), konstruiere die Mengen M,T 1 ,...,T 4 ,T ′ 1,...,T ′ 4 wie im Beweis von Satz 19.8, finde Mengen {U 1 ,...,U 4 } ⊆ {T 1 ,...,T 4 ,T ′ 1,...,T ′ 4}, so dass U 1 ∪ ··· ∪ U 4 = M und gib die dazugehörige Belegung an, die ϕ erfüllt. Es gibt eine große Vielzahl von NP-vollständigen Problemen in allen Teilgebieten der Informatik. Eine klassische Referenz ist das Buch „Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-completeness“ von M. Garey und D. Johnson, 1979. Das Buch, welches zu den meistzitierten in der Informatik überhaupt gehört, enthält eine hervorragende Einführung in das Gebiet der NP-Vollständigkeit und einen Katalog von ca. 300 NP-vollständigen Problemen. Seit der Publikation des Buches wurden tausende weitere Probleme als NP-vollständig identifiziert. 157
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