Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Universelle Maschinen und unentscheidbare Probleme
Auch hier folgt wieder, dass das korrespondierende Äquivalenzproblem für Typ 0-Grammatiken
unentscheidbar ist. An dieser Stelle, wo wir die Existenz unentscheidbarer aber
dennoch semi-entscheidbarer Probleme bewiesen haben, kommen wir kurz auf die Abschlußeigenschaften
von Typ 0-Sprachen zurück. Es stellt sich heraus, dass diese nicht
unter Komplement abgeschlossen sind. Dies ist eine fundamentale Beobachtung aus der
Sicht der Theorie der Berechenbarkeit.
Satz 16.10
L 0 ist nicht unter Komplement abgeschlossen.
Beweis. Wir wissen von der in Satz 16.4 eingeführten Sprache UNIV :
• UNIV ist semi-entscheidbar, d.h. gehört zu L 0 .
• UNIV ist nicht entscheidbar.
Das Komplement UNIV gehört aber nicht zu L 0 : andernfalls wäre UNIV ja auch semientscheidbar
und mit Satz 15.3 (Teil 4) würde folgen, dass UNIV entscheidbar ist.
Das in den Beweisen der Sätze 16.6 bis 16.9 gewählte Vorgehen nennt man Reduktion:
• Das Lösen eines ProblemsP 1 (z.B. Halteproblem) wird auf das Lösen eines Problem
P 2 (z.B. Äquivalenzproblem) reduziert.
• Wäre daher P 2 entscheidbar, so auch P 1 .
• Weiss man bereits, dass P 1 unentscheidbar ist, so folgt daher, dass auch P 2 unentscheidbar
ist.
Reduktionen sind ein sehr wichtiges Hilfsmittel, um die Unentscheidbarkeit von Problemen
nachzuweisen. In der Tat wird dieser Ansatz wesentlich häufiger verwendet als
Diagonalisierung (die aber trotzdem unverzichtbar ist, um sich erstmal ein originäres
unentscheidbares Problem zu schaffen, dass man dann reduzieren kann). Formal lassen
sich Reduktionen wie folgt definieren.
Definition 16.11 (Reduktion)
1) Eine Reduktion von L 1 ⊆ Σ ∗ auf L 2 ⊆ Σ ∗ ist eine berechenbare Funktion
f : Σ ∗ → Σ ∗ ,
für die gilt:
w ∈ L 1 gdw. f(w) ∈ L 2 .
2) Wir schreiben
L 1 ≤ L 2
(L 1 ist auf L 2 reduzierbar),
falls es eine Reduktion von L 1 nach L 2 gibt.
131