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Primitiv rekursive Funktionen und µ-rekursive Funktionen
14. Primitiv rekursive Funktionen und µ-rekursive
Funktionen
Sowohl die LOOP-berechenbaren Funktionen als auch die WHILE-berechenbaren Funktionen
lassen sich auch auf gänzlich andere Weise definieren, wobei nicht der Mechanismus
der Berechnung, sondern die Funktion selbst in den Mittelpunkt gestellt wird.
Genauer gesagt betrachten wir die Klasse der sogenannten primitiv rekursiven Funktionen,
die sich als identisch zu den LOOP-berechenbaren Funktionen herausstellen, und die
Klasse der µ-rekursiven Funktionen, die sich als identisch zu den WHILE-berechenbaren
Funktionen herausstellen. Beide Klassen waren historisch unter den ersten betrachteten
Berechnungsmodellen und spielen in der Theorie der Berechenbarkeit und der Komplexitätstheorie
noch heute eine wichtige Rolle. Insbesondere kann man sie als mathematisches
Modell von funktionalen Programmiersprachen auffassen. Auch in diesem Kapitel
betrachten wir ausschliesslich k-stellige Funktionen f : Æ k → Æ.
Primitiv Rekursive Funktionen
Die Klasse der primitiv rekursiven Funktionen besteht aus den Funktionen, die man aus
den folgenden Grundfunktionen durch Anwenden der folgenden Operationen erhält.
Grundfunktionen:
1. Konstante Nullfunktionennull k beliebiger Stelligkeitk ≥ 0, also z.B. die dreistellige
Funktion null 3 mit null 3 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 0 für alle x 1 ,x 2 ,x 3 .
2. Projektionsfunktionen proj k→i beliebiger Stelligkeit k auf das i-te Argument, 1 ≤
i ≤ k, z.B. die dreistellige Funktion proj 3→1 für die Projektion auf das erste Argument,
also proj 3→1 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 1 für alle x 1 ,x 2 ,x 3 .
3. Die einstellige Nachfolgerfunktion succ.
Operationen:
1. Komposition (Einsetzung) von Funktionen.
Genauer gesagt entsteht eine k-stellige Funktion f aus k-stelligen Funktionen
h 1 ,...,h n unter Anwendung eine n-stelligen Funktion g wenn
2. Primitive Rekursion.
f(x 1 ,...,x k ) = g(h 1 (x 1 ,...,x k ),...,h n (x 1 ,...,x k ))
Primitive Rekursion bedeutet hier einen rekursiven Abstieg über das erste Funktionsargument,
also darf f(n + 1,...) definiert werden unter Verwendung von
f(n,...). Um das etwas präziser zu machen sei g eine k-stellige Funktion und
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